Giải Toán 11 trang 103 tập 1 Kết nối tri thức
Giải SGK Toán 11 KNTT Bài tập cuối chương 4 trang 103
Giải Toán 11 trang 103 tập 1 Kết nối tri thức tuyển chọn lời giải Bài tập cuối chương 4, giúp học sinh hệ thống lại kiến thức hình học không gian đã học. Các hướng dẫn được trình bày ngắn gọn, theo từng bước, thuận tiện cho việc tự học, kiểm tra đáp án và học tốt Toán 11.
Giải bài 4.41 trang 103 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Cho hình chóp 
\(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, \(AB // CD\) và \(AB < CD\). Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng sau:
a) \((SAD)\) và \((SBC)\)
b) \((SAB)\) và \((SCD)\)
c) \((SAC)\) và \((SBD)\)
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) Gọi giao điểm của \(AD\) và \(BC\) là K
Ta có: \(SK\) cùng thuộc \(mp(SAD)\) và \((SBC)\)
Vậy \(SK\) là giao tuyến của \((SAD)\) và (DBC)
b) \((SAB)\) và \((SCD)\) có:
\(AB // CD\) và S chung nên giao tuyến là dường thẳng \(Sx\) đi qua x và song song với \(AB\) và \(CD\)
c) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) suy ra O thuộc giao tuyến của \((SAC)\) và \((SBC)\)
Suy ra \(SO\) là giao tuyến của \((SAC)\) và \((SBD)\).
Giải bài 4.42 trang 103 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A′B′C′\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,BC\) và \(AA′\).
a) Xác định giao điểm của mặt phẳng \((MNP)\) với đường thẳng \(B′C\).
b) Gọi \(K\) là giao điểm của mặt phẳng \((MNP)\) với đường thẳng \(B′C\). Tính tỉ số \(\frac{KB′}{KC}\)
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) Ta có \((MNP) ∩ (ABC) = MN\), \((ABC) ∩ (ACC′A′) = AC\), \(AC//MN\) (do MN là đường trung bình của tam giác \(ABC\)) suy ra giao tuyến của \((MNP)\) và \((ACC'A')\) song song với \(MN\) và \(AC\)
Qua P kẻ đường thẳng song song với AC cắt CC' tại H
\(PH\) là giao tuyến củ \((MNP)\) và \((ACC'A')\)
Nối H với N cắt B'C tại K
Vậy K là giao điểm của \((MNP)\) và B'C
b) Gọi giao điểm BC' và B'C là O
Ta có \(ACC'A'\) là hình bình hành P là trung điểm AA', \(PH //AC\) suy ra H là trung điểm CC'
Xét tam giác \(CC'B\) ta có: HN là đường trung bình suy ra \(CK = OK\)
Mà \(OC = OB'\) suy ra \(\frac{KB′}{KC}\) = 3
Giải bài 4.43 trang 103 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Trên cạnh SC và cạnh AB lần lượt lấy điểm M và N sao cho \(CM = 2SM\) và \(BN = 2AN\).
a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng \((ABM)\) với đường thẳng SD. Tính tỉ số \(\frac{SK}{SD}\)
b) Chứng minh rằng \(MN // (SAD)\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
a) Ta có:
\((ABM) \cap (ABCD) = AB\)
\((ABCD)\cap(SCD) = CD\)
\(AB // CD)\)
=> Giao tuyến của \((ABM)\) và \((SCD)\) là đường thẳng qua M song song với AB và CD
Qua M kẻ MK song song với CD (K thuộc SD)
Vậy, K là giao điểm của \((AMN)\) và SD
Xét tam giác \(SCD\) ta có: \(MK // CD\) suy ra \(\frac{SK}{SD}\) = \(\frac{SM}{SC}\) = \(\frac{1}{3}\)
b) Xét tam giác \(SCD\) ta có: \(MK // CD\) suy ra \(\frac{MK}{CD}\) = \(\frac{SM}{SC}\) = \(\frac{1}{3}\)
Lại có \(\frac{AN}{AD}\) = \(\frac{1}{3}\), \(AB = CD\) suy ra \(AN = MK\)
Xét tứ giác \(ANMK\) ta có: \(AN = MK, AN // MK\)
=> \(ANMK\) là hình bình hành
=> \(MN // AK\) hay \(MN // (SAD)\)
Giải bài 4.44 trang 103 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(G, K\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAD, SCD\)
a) Chứng minh rằng \(GK // (ABCD)\)
b) Mặt phẳng chứa đường thẳng \(GK\) và song song với mặt phẳng \((ABCD)\) cắt các cạnh \(SA, SB, SC, SD\) lần lượt tại \(M, N, E, F\). Chứng minh rằng tứ giác \(MNEF\) là hình bình hành.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
a) Xét tam giác \(HAC\) ta có: \(GH = 2GA, HK = 2KC\)
Suy ra \(GK // AC\) hay \(GK // (ABCD)\)
b) Ta có:
\((MNEF) // (ABCD)\)
\(=> MN // AB, NE // BC, EF // CD, MF // AD\)
Lại có \(AB // CD, AD // BC\) suy ra \(MN // EF, MF // NE\)
=> \(MNEF\) là hình bình hành
Giải bài 4.45 trang 103 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Cho hình hộp \(ABCD⋅A′B′C′D′\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(AD, A′B′\). Chứng minh rằng:
a) \(BD//B′D′, (A′BD) // (CB′D′)\) và \(MN // (BDD′B′)\);
b) Đường thẳng \(AC′\) đi qua trọng tâm G của tam giác \(A′BD\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) Ta có:
\((A′B′C′D′) // (ABCD)\)
\((B′D′DB) \cap (A′B′C′D′) = B′D′\)
\((B′D′DB) \cap (ABCD) = BD\)
\(=> B'D' // DB\)
Xét \((A'BD)\) và \((CB'D')\) có:
\(BD // B'D', A'B // CD'\)
=> \((A'BD) // (CB'D')\)
Xét tứ giác B'NMO ta có:
\(B'N = MO, B'N // MO\)
\(=> B'NMO\) là hình bình hành do đó \(B'O // MN\) hay \(MN // (BDD'B')\)
b) Xét tứ giác A'C'OA ta có:
\(A'C' // AO, A'C' = 2AO\)\(=> A'G = 2GO\) mà O là trung điểm BD suy ra G là trọng tâm tam giác A'BD
Như vậy AC' đi qua trọng tâm G của tam giác A'BD
Giải bài 4.46 trang 103 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Cho tứ diện \(ABCD\). Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho \(BM = 3AM\). Mặt phẳng (P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC
a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (P) với đường thẳng CD
b) Tính tỉ số \(\frac{KD}{CD}\)
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
a) Qua M kẻ \(MH // BC, MI // AD.\)
mp(P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC suy ra mp(P) chứa MH và MI
Ta có:
\((ABC) \cap (P) = MH\)
\((ABC) \cap (BCD) = BC\)
\(MH // BC\)
=> Giao tuyến của (P) và (BCD) song song với BC và MH
Qua I kẻ IK // BC (K thuộc CD)
Vậy giao điểm của (P) và CD là K
b) Ta có:
\((P) \cap (ABD) = MI\)
\((ABD) \cap (ACD) = AD\)
\((P) \cap (ACD) = HK, MI // AD\)
\(=> HK // MI\)
Tứ giác MHKI có: \(MH // KI, MI // HK\)
=> MHKI là hình bình hành do đó \(MH = KI\)
Xét tam giác ABC có \(MH // BC, BM = 3AM\)
\(=> BC = 4MH => BC = 4KI\)
Xét tam giác BCD có \(IK // BC, BC = 4KI\) suy ra \(\frac{KC}{CD}\) = \(\frac{3}{4}\)
-----------------------------------------------
Với Giải SGK Toán 11 KNTT trang 103 tập 1 – Bài tập cuối chương 4, học sinh có thể rà soát những nội dung trọng tâm và tự đánh giá mức độ nắm bài. Đây cũng là tài liệu hữu ích để luyện tập các dạng toán hình học không gian, chuẩn bị tốt cho những bài kiểm tra và củng cố kiến thức Toán 11 Kết nối tri thức .
