Giải Toán 11 trang 105 tập 1 Kết nối tri thức
Giải SGK Toán 11 KNTT trang 105 bài 15
Giải Toán 11 trang 105 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn các bài tập thuộc Bài 15: Giới hạn của dãy số. Lời giải bám sát SGK Toán 11 KNTT, trình bày rõ ràng giúp học sinh nắm cách tính giới hạn, vận dụng quy tắc và củng cố kiến thức về dãy số.
Giải hoạt động 1 trang 105 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Nhận biết dãy số có giới hạn là 0
Cho dãy số (un) với 
\({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\).
a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.
b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01?
Hướng dẫn giải
a) Năm số hạng đầu của dãy số (un) đã cho là:
\(\begin{array}{l}
{u_1} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^1}}}{1} = - 1;{u_2} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}}{2} = \frac{1}{2}\\
{u_3} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}{3} = - \frac{1}{3};{u_4} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}}}{4} = \frac{1}{4}\\
{u_5} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^5}}}{5} = - \frac{1}{5}
\end{array}\)
Biểu diễn các số hạng này trên trục số, ta được:
b) Khoảng cách từ un đến 0 là \(\left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right| = \frac{{{1^n}}}{n} = \frac{1}{n};\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Ta có:
\(\frac{1}{n} < 0,01 \Leftrightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{{100}} \Leftrightarrow n > 100\)
Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 của dãy thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01.
Giải luyện tập 1 trang 105 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}} = 0\)
Hướng dẫn giải
Xét dãy số (un) có \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}\)
Ta có: \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}} \right| = \frac{1}{{{3^n}}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} = 0\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}} = 0\)
Giải hoạt động 2 trang 105 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn
Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\). Xét dãy số (vn) xác định bởi \({v_n} = {u_n} - 1\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\({v_n} = {u_n} - 1 = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} - 1 = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} = 0\)
------------------------------
Qua Giải Toán 11 trang 105 tập 1 Kết nối tri thức, học sinh có thể đối chiếu kết quả và hiểu rõ hơn các phương pháp tìm giới hạn của dãy số. Việc nắm chắc các quy tắc tính giới hạn sẽ giúp xử lý linh hoạt nhiều dạng bài tập và tạo nền tảng cho những nội dung tiếp theo. Hãy chủ động luyện tập để củng cố kiến thức và học tốt môn Toán 11.
