Giải Toán 11 trang 55 tập 1 Kết nối tri thức

Giải Toán 11 trang 55 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn giải các bài tập trong Bài 7: Cấp số nhân. Nội dung được trình bày ngắn gọn, logic, bám sát SGK Toán 11 KNTT, giúp học sinh dễ nắm bản chất, ghi nhớ công thức và vận dụng vào bài toán thực tế.

Giải vận dụng trang 55 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Ta có: 3 năm = 12 quý (mỗi quý gồm 3 tháng).

+ Theo phương án 1:

Lương của công nhân trong quý 1 là: \(5 . 3 = 15\) (triệu đồng).

Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng hay 0,5 triệu đồng, do đó từ quý thứ hai trở đi, lương sẽ tăng mỗi quý l:

\(0,5 . 3 = 1,5\) (triệu đồng).

=> Lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1 = 15\) và công sai d = 1,5.

Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó sau ba năm hay 12 quý làm việc chính là tổng của 12 số hạng đầu của cấp số cộng trên là:

\({S_{12}} = \frac{{12}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {12 - 1} \right)d} \right]\)\(= 6.\left( {2.15 + 11.1,5} \right) = 279\)(triệu đồng).

+ Theo phương án 2:

Lương của công nhân trong quý 1 là: \(5 . 3 = 15\) (triệu đồng).

=> Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%, có nghĩa là lương mỗi tháng trong quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi tháng quý liền trước đó, tức là lương của quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi quý liền trước đó.

=> Lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu \(u ' _1 = 15\) và công bội q = 1,05.

Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó sau ba năm hay 12 quý làm việc chính là tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân trên là

\(S{'_{12}}\; = \;\frac{{u{\prime _1}(1 - {q^{12}})}}{{1 - q}} = \frac{{15\left[ {1 - {{\left( {1,05} \right)}^{12}}} \right]}}{{1 - 1,05}}\; \approx 238,76\)(triệu đồng).

+ Vì 279 > 238,76, do đó với phương án 1 thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn.

Giải bài 2.15 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(4{\rm{ }}:{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}4,{\rm{ }}16{\rm{ }}:{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}4\)

Khi đó:

• Công bội q = 4
• Số hạng tổng quát: \(u_{n}=4^{n-1}\)
• Số hạng thứ 5: \(u_{5}=4^{5-1}=256\)
• Số hạng thứ 100: \(u_{100}=4^{100-1}=4.017.10^{59}\)

b) Ta có: \((-\frac{1}{2}):2=-\frac{1}{4};\frac{1}{8}:(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}\)

Khi đó:

• Công bội \(q = -\frac{1}{4}\)
• Số hạng tổng quát: \(u_{n}=2. (-\frac{1}{4})^{n-1}\)
• Số hạng thứ 5: \(u_{5}=2. (-\frac{1}{4})^{5-1}=\frac{1}{128}\)
• Số hạng thứ 100: \(u_{100}=2. (-\frac{1}{4})^{100-1}=-4.978. 10^{-60}\)

Giải bài 2.16 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Năm số hạng đầu của dãy: 5; 10; 15; 20; 25

Ta có: \(10{\rm{ }}:{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}2 \ne 15{\rm{ }}:{\rm{ }}10{\rm{ }} = {\rm{ }}\)\(\frac{3}{2}\) suy ra \(( u_{n} )\) không phải cấp số nhân

b) Năm số hạng đầu của dãy: \(5; 25; 125; 625; 3125\)

Ta có \(u_{n}=5^{n}\) nên \(u_{n+1}=5^{n+1}\Rightarrow \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{5^{n+1}}{5^{n}}=5(\forall n\geq 2)\)

Do đó \(( u_{n} )\) là cấp số nhân có công bội q = 5

Số hạng tổng quát: \(u_{n}=5. 5^{n-1}\)

c) Năm số hạng đầu của dãy: 1; 2; 6; 24; 120

Ta có: 2 : 1 = 2 \(\neq\) 6:2=3 nên \((u_{n})\) không phải là cấp số nhân

d) Năm số hạng đầu của dãy: 1; 5; 25; 125; 625

Ta có: \(u_{n}=5u_{n-1}\) nên \(\frac{u_{n}}{u_{n-1}}=5(\forall n\geq 2)\)

Do đó \((u_{n})\) là cấp số nhân với cong sai q = 5

Số hạng tổng quát: \(u_{n}=5^{n-1}\)

Giải bài 2.17 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Gọi số hạng tổng quát của cấp số nhân là: \(u_{n}=u_{1}.q^{n-1}\)

Ta có: \(u_{6}=u_{1}. q^{5}=96;u_{3}=u_{1}. q^{2}=12\)

Khi đó: \(\frac{u_{1}q^{5}}{u_{1}q^{2}}=\frac{96}{12}\Rightarrow q^{3}=8\Rightarrow q=2\)

=> \(u_{1}=3\)

=> Công thức số hạng tổng quát của dãy là: \(u_{n}=3. 2^{n-1}\)

Vậy \(u_{50}=3. 2^{50-1}=1.689. 10^{15}\)

Giải bài 2.18 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Ta có số hạng tổng quát của dãy là \(u_{n}=5\times 2^{n-1}\)

Gọi n là số các số hạng cần lấy tổng:

\(\begin{array}{l} 5115 = {S_n} = \frac{{5(1 - {2^n})}}{{1 - 2}} = - 5 + {5.2^n}\\ \Rightarrow {2^n} = 1024 \Rightarrow n = 10 \end{array}\)

Vậy số các số hạng cần lấy tổng là 10

Giải bài 2.19 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Giá trị của chiếc máy ủi mỗi năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu bằng 3 và công bội q = 0.8.

Giá trị của chiếc máy ủi sau 5 năm sử dụng là: \({u_5} = {\rm{ }}3{\rm{ }}{\rm{. }}{0.8^{5{\rm{ }} - {\rm{ }}1}} = {\rm{ }}0.1875{\rm{ }}\)(tỷ đồng)

Giải bài 2.20 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Dân số hằng năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu là 97 và công bội q = 1.0091

Dân số của quốc gia đó năm 2030 (tức n = 11) là

\({u_{11}} = {\rm{ }}97{\rm{ }}.{\rm{ }}{1.0091^{11 - 1}} = {\rm{ }}106.197\) (triệu người)

Giải bài 2.21 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Lượng thuốc trong máu mỗi ngày cảu bệnh nhân lập thành cấp số nhân với số hạng đầu là 50 và công bội q = 0.5

Tổng lượng thuốc trong máu 10 ngày liên tiếp chính là tổng 10 số hạng đầu cảu cấp số nhân này và bằng: \(S_{n}=\frac{50[1-(0.5)^{10}]}{1-0.5}=99.902\) (mg)

------------------------------

Phần Giải SGK Toán 11 KNTT trang 55 tập 1 – Bài 7: Cấp số nhân giúp học sinh thuận tiện kiểm tra kết quả và củng cố phương pháp giải. Khi kết hợp công thức với luyện tập đa dạng, các em sẽ hiểu sâu hơn về cấp số nhân và nâng cao khả năng học tốt Toán 11.