Giải Toán 11 trang 20 tập 1 Kết nối tri thức
Giải Toán 11 trang 20 tập 1 Kết nối tri thức Bài 2
Giải Toán 11 trang 20 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn chi tiết các bài tập thuộc Bài 2: Công thức lượng giác, giúp học sinh dễ dàng vận dụng công thức cộng, công thức nhân đôi và các hệ thức lượng giác để giải bài. Lời giải bám sát SGK, trình bày ngắn gọn, dễ hiểu, hỗ trợ học tốt Toán 11.
Giải hoạt động 4 trang 20 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Xây dựng công thức biến đổi tổng thành tích
Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt 
\(u = a – b, v = a + b\) và viết các công thức nhận được.
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a – b) + \cos(a + b)]\) (1);
\(\sin a \sin b = \frac{1}{2}[\cos(a – b) – \cos(a + b)]\)(2);
\(\sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a – b) + \sin(a + b)]\)(3).
Đặt \(u = a – b, v = a + b\).
Ta có: \(u + v = (a – b) + (a + b) = 2a\) và \(u – v = (a – b) – (a + b) = – 2b\).
\(\Rightarrow a = \frac{{u + v}}{2},b = \frac{{ - u - v}}{2}\)
Khi đó:
Biểu thức(1) trở thành
\(\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}(\cos u + \cos v)\)
\(\Leftrightarrow \cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\;\)(Do \(\cos \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{{u - v}}{2}} \right)\))
Biểu thức (2) trở thành;
\(\sin \left( {\frac{{u + v}}{2}} \right).\sin \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}(\cos u - \cos v)\)
\(\Leftrightarrow \cos u - \cos v = - 2\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}\)
(Do \(\sin \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = - \sin \left( {\frac{{u - v}}{2}} \right)\))
Biểu thức (3) trở thành
\(\sin \left( {\frac{{u + v}}{2}} \right)\cos \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}(\sin u + \sin v)\)
\(\Leftrightarrow \sin u + \sin v = 2\sin \left( {\frac{{u + v}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{u - v}}{2}} \right)\)
Giải luyện tập 4 trang 20 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức:
\(B\; = \;\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{11\pi }}{9}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(B\; = \;\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{11\pi }}{9}\)
\(B\; = \;\left( {\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{11\pi }}{9}} \right) + \cos \frac{{5\pi }}{9}\)
\(B\; = \;2\cos \frac{{\frac{\pi }{9} + \frac{{11\pi }}{9}}}{2}.\cos \frac{{\frac{\pi }{9} - \frac{{11\pi }}{9}}}{2} + \cos \frac{{5\pi }}{9}\)
\(B\; = \;2\cos \frac{{2\pi }}{3}.\cos \left( { - \frac{{5\pi }}{9}} \right) + \cos \frac{{5\pi }}{9}\)
\(B\; = \;2\cos \frac{{2\pi }}{3}.\cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9}\)
\(B\; = \;2.\left( { - \frac{1}{2}} \right).\cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9}\)
\(B\; = \; - \cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9} = 0\)
Vậy \(B\; = \;\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{11\pi }}{9} =0\)
Giải vận dụng 2 trang 20 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp \(f_1\) và tần số cao \(f_2\) liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm \(y = \sin(2πf_1t) + \sin(2πf_2t)\), ở đó t là biến thời gian (tính bằng giây).
a) Tìm hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.
b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.
Hướng dẫn giải
a) Quan sát Hình 1.13, ta nhận thấy khi nhấn phím 4, âm thanh được tạo ra có tần số thấp \(f_1= 770 Hz\) và tần số cao \(f_2= 1 209 Hz\).
Khi đó, hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4 là
\(y = \sin(2π . 770t) + \sin(2π . 1 209t)\) hay \(y = \sin(1 540πt) + \sin(2 418πt)\).
b) Ta có:
\(\sin(1 540πt) + \sin(2 418πt)\)
\(= 2.\sin \frac{{1540\pi t + 2418\pi t}}{2}.\cos \frac{{1540\pi t - 2418\pi t}}{2}\)
\(= 2.\sin 1979\pi t.\cos \left( { - 439\pi t} \right)\)
\(= 2.\sin 1979\pi t.\cos 439\pi t\)
Vậy ta có hàm số \(y = 2.\sin 1979\pi t.\cos 439\pi t\)
-----------------------------------------
Với Giải Toán 11 trang 20 tập 1 Kết nối tri thức – Bài 2: Công thức lượng giác, học sinh có thể nhanh chóng kiểm tra đáp án, củng cố các công thức quan trọng và rèn luyện phương pháp giải bài tập lượng giác.
