Giải Toán 11 trang 54 tập 1 Kết nối tri thức
Giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức bài 7 trang 54
Giải Toán 11 trang 54 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn giải các bài tập trong Bài 7: Cấp số nhân. Nội dung được trình bày ngắn gọn, logic, bám sát SGK Toán 11 KNTT, giúp học sinh dễ nắm bản chất, ghi nhớ công thức và vận dụng vào bài toán thực tế.
Giải luyện tập 2 trang 54 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Vì ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ nên số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ lập thành một cấp số nhân với sống hạng đầu u1 = 5 000 và công bội q = 1,08 và u6 là số lượng vi khuẩn nhận được sau 5 giờ nuôi cấy.
Ta có: u6 = u1 . q6 – 1 = 5 000 . 1,085 ≈ 7 347.
Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn xấp xỉ khoảng 7 347 con.
Giải hoạt động 3 trang 54 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Cho cấp số nhân (un) với số hạng đầu u1 = a và công bội q ≠ 1.
Để tính tổng của n số hạng đầu
\({S_n}\; = {\rm{ }}{u_1}\; + {\rm{ }}{u_2}\; + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1\;}} + {\rm{ }}{u_n}\)
thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:
a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo u1 và q để được biểu thức tính tổng Sn chỉ chứa u1 và q.
b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích q . Sn chỉ chứa u1 và q.
c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính (1 – q)Sn theo u1 và q. Từ đó suy ra công thức tính Sn.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{u_2} = {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}q\\
;{\rm{ }}...;
\end{array}\\
{{u_{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1\;}} = {\rm{ }}{u_1}.{\rm{ }}{q^{(n{\rm{ }}-{\rm{ }}1){\rm{ }}-{\rm{ }}1\;}} = {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}2}}}\\
{{u_n}\; = {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \;{S_n}\; = {\rm{ }}{u_1}\; + {\rm{ }}{u_2}\; + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1\;}} + {\rm{ }}{u_n}\;\\
= {\rm{ }}{u_1}\; + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}q{\rm{ }} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}2}}\; + {\rm{ }}{u_1}.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\;\left( 1 \right)
\end{array}\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{q{\rm{ }}.{\rm{ }}{S_n}\; = {\rm{ }}q{\rm{ }}.{\rm{ }}({u_1}\; + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}q{\rm{ }} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}2}}\; + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}})}\\
{ \Leftrightarrow {\rm{ }}q{\rm{ }}.{\rm{ }}{S_n}\; = {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}q{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}.{\rm{ }}{q^2}\; + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\; + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^n}\;\left( 2 \right).}
\end{array}\)
c) Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2) ta được:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{S_n}\;-{\rm{ }}q{\rm{ }}.{\rm{ }}{S_n}\; = {\rm{ }}({u_1}\; + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}q{\rm{ }} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}2}}\; + {\rm{ }}{u_1}.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}){\rm{ }}\\
-{\rm{ }}({u_1}\;.{\rm{ }}q{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^2}\; + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1\;}} + {\rm{ }}{u_1}.{\rm{ }}{q^n})
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}q} \right){S_n}\; = {\rm{ }}{u_1}\;-{\rm{ }}{u_1}.{\rm{ }}{q^n}}\\
{ \Leftrightarrow {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}q} \right){S_n}\;\; = {\rm{ }}{u_1}(1{\rm{ }}-{\rm{ }}{q^n})}\\
{ \Rightarrow {\rm{ }}{S_n}\;\; = \frac{{\;{u_1}(1 - {q^n})}}{{1 - q}}\;;\left( {{\rm{ }}q{\rm{ }} \ne {\rm{ }}1} \right)}
\end{array}\)
Giải câu hỏi trang 54 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì tổng n số hạng đầu Sn của nó bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì cấp số nhân là u1, u1, ..., u1,...
Khi đó
Sn = u1 + u1 + ... + u1 = n . u1 (tổng của n số hạng u1).
------------------------------
Phần Giải SGK Toán 11 KNTT trang 54 tập 1 – Bài 7: Cấp số nhân giúp học sinh thuận tiện kiểm tra kết quả và củng cố phương pháp giải. Khi kết hợp công thức với luyện tập đa dạng, các em sẽ hiểu sâu hơn về cấp số nhân và nâng cao khả năng học tốt Toán 11.
