Giải Toán 11 trang 107 tập 1 Kết nối tri thức
Giải SGK Toán 11 KNTT trang 107 bài 15
Giải Toán 11 trang 107 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn các bài tập thuộc Bài 15: Giới hạn của dãy số. Lời giải bám sát SGK Toán 11 KNTT, trình bày rõ ràng giúp học sinh nắm cách tính giới hạn, vận dụng quy tắc và củng cố kiến thức về dãy số.
Giải luyện tập 3 trang 107 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Tìm 
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {2{n^2} + 1} }}{{n + 1}}\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {2{n^2} + 1} }}{{n + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {{n^2}\left( {\frac{{2{n^2} + 1}}{{{n^2}}}} \right)} }}{{\frac{{n + 1}}{n}}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{1} = \sqrt 2\)
Giải hoạt động 4 trang 107 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Làm quen với việc tính tổng vô hạn
Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi \({u_1};{u_2};…; {u_n}\) lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.
a) Tính tổng \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).
b) Tìm \(S = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n}\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: u1là độ dài cạnh của hình vuông được tô màu tạo từ việc chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau => \({u_1} = \frac{1}{2}\)
Tiếp tục quá trình trên ta thu được:
\(\begin{array}{l}
{u_2} = \frac{1}{2}{u_1}\\
{u_3} = \frac{1}{2}{u_2}\\
....\\
{u_n} = \frac{1}{2}{u_{n - 1}}
\end{array}\)
=> Độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{2}\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\)
Khi đó tổng của n số hạng đầu cần tìm là:
\(\begin{array}{l}
{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\\
= \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{2}\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}
\end{array}\)
b) Ta có:
\(S = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right]\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( 1 \right) - \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 1 - 0 = 1\)
------------------------------
Qua Giải Toán 11 trang 105 tập 1 Kết nối tri thức, học sinh có thể đối chiếu kết quả và hiểu rõ hơn các phương pháp tìm giới hạn của dãy số. Việc nắm chắc các quy tắc tính giới hạn sẽ giúp xử lý linh hoạt nhiều dạng bài tập và tạo nền tảng cho những nội dung tiếp theo. Hãy chủ động luyện tập để củng cố kiến thức và học tốt môn Toán 11.
