Giải Toán 11 trang 118 tập 1 Kết nối tri thức
Giải SGK Toán 11 KNTT trang 118 bài 16
- Giải luyện tập 5 trang 118 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
- Giải bài 5.7 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.8 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.9 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.10 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.11 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.13 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Giải Toán 11 trang 118 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn chi tiết các bài tập thuộc Bài 16: Giới hạn của hàm số. Nội dung bám sát SGK Toán 11 KNTT, giúp học sinh hiểu cách xác định giới hạn, vận dụng các quy tắc tính và rèn luyện kỹ năng giải bài tập hiệu quả.
Giải luyện tập 5 trang 118 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Tính 
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - 2 > 0;\forall x > 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) > 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2x - 1} \right) = 2.2 - 1 = 3
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = + \infty
\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - 2 < 0;\forall x < 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 2} \right) < 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2x - 1} \right) = 2.2 - 1 = 3
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = - \infty
\end{array}\)
Giải bài 5.7 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Cho hai hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\) và \(g(x) = x + 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
a) \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x)\)
Hướng dẫn giải
Tập xác định của \(f(x)\): \(D{\rm{ }} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Ta có: \(f(x) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}} = x + 1\), với mọi x ≠ 1.
Tập xác định của \(g(x)\): \(\mathbb{R}\)
=> Điều kiện xác định của hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\) khác nhau, vậy khẳng định a) là sai.
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 1 + 1 = 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = 2\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x)\)
Vậy khẳng định b đúng
Giải bài 5.8 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(x + 2)}^2} - 4}}{x}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} - 3}}{{{x^2}}}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(x + 2)}^2} - 4}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 4x + 4 - 4}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 4x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x + 4) = 4
\end{array}\)
b) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} - 3}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 9} - 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 9} + 3} \right)}}{{{x^2}.\left( {\sqrt {{x^2} + 9} + 3} \right)}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 9 - 9}}{{{x^2}.\left( {\sqrt {{x^2} + 9} - 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{{x^2}.\left( {\sqrt {{x^2} + 9} + 3} \right)}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 9} + 3}} = \frac{1}{6}\)
Giải bài 5.9 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Cho hàm số \(H(t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{0;{\rm{ }}neu{\rm{ }}t < 0}\\
{1;{\rm{ }}neu{\rm{ }}t \ge 0}
\end{array}} \right.\). (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/ mở của dòng điện tại thời điểm t = 0)
Tính \(\underset{t\rightarrow 0^{+}}{lim}H(t)\) và \(\underset{t\rightarrow 0^{-}}{lim}H(t)\)
Hướng dẫn giải
Vi dãy số (tn ) bất kì sao cho tn > 0 và tn ⟶ 0, ta có H(tn ) = 1.
\(\mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} H(t) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } H({t_n}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( 1 \right) = 1\)
Với dãy số (tn ) bất kì sao cho tn< 0 và tn ⟶ 0, ta có H(tn ) = 0.
\(\mathop {lim}\limits_{t \to {0^ + }} H(t) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } H({t_n}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( 0 \right) = 0\)
Giải bài 5.10 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Tính các giới hạn một bên:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{4 - x}}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (x - 2) = - 1 < 0\\
x - 1 > 0;\forall x > 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (x - 1) > 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = - \infty
\end{array}\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} ({x^2} - x + 1) = 13 > 0\\
x - 4 < 0 \Rightarrow x - 4 > 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} (4 - x) > 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{4 - x}} = + \infty
\end{array}\)
Giải bài 5.11 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Cho hàm số \(g(x)=\frac{x^{2}-5x+6}{|x-2|}\)
Tìm \(\underset{t\rightarrow 2^{+}}{lim}g(x)\) và \(\underset{t\rightarrow 2^{-}}{lim}g(x)\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(x\rightarrow 2^{+}\Rightarrow |x-2|=x-2\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{|x - 2|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{(x - 2)(x - 3)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} [x - 3] = 2 - 3 = - 1
\end{array}\)
Ta có:
\(x\rightarrow 2^{-}\Rightarrow |x-2|=2-x\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{|x - 2|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{2 - x}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{(x - 2)(x - 3)}}{{ - (x - 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} [ - (x - 3)] = 3 - 2 = 1
\end{array}\)
Giải bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right)\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{1}{x} - 2}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \frac{{ - 2}}{1} = - 2\)
b) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right)\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right).\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + x + 2 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {1 + 1} }} = \frac{1}{2}\)
Giải bài 5.13 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Cho hàm số \(f(x)=\frac{2}{(x-1)(x-2)}\)
Tìm \(\underset{x\rightarrow 2^{+} }{lim}f(x)\) và \(\underset{x\rightarrow 2^{-} }{lim}f(x)\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(x\rightarrow 2^{+}\Rightarrow (x-1)(x-2)>0\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{2}{{(x - 1)(x - 2)}} = + \infty\)
Ta có:
\(x\rightarrow 2^{-}\Rightarrow (x-1)(x-2)<0\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{2}{{(x - 1)(x - 2)}} = - \infty\)
--------------------------------
Với Giải Toán 11 trang 118 tập 1 Kết nối tri thức, học sinh có thể thuận tiện kiểm tra đáp án và củng cố phương pháp tìm giới hạn của hàm số. Việc nắm chắc các quy tắc và dạng giới hạn thường gặp giúp quá trình giải bài chính xác, linh hoạt hơn. Chủ động luyện tập thêm sẽ hỗ trợ học sinh xây dựng nền tảng vững chắc và học tốt môn Toán 11.
