Giải Toán 11 trang 67 tập 1 Kết nối tri thức
Giải SGK Toán 11 KNTT trang 67 bài 9
Giải Toán 11 trang 67 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn chi tiết các bài tập thuộc Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm. Nội dung bám sát SGK Toán 11 KNTT, giúp học sinh nắm cách tính và vận dụng số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt trong các bài toán thống kê.
Giải bài 3.4 trang 67 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Quãng đường (km) từ nhà đến nơi làm việc của 40 công nhân một nhà máy được ghi lại như sau:
5; 3; 10; 20; 25; 11; 13; 7; 12; 31; 19; 10; 12;
17; 18; 11; 32; 17; 16; 2; 7; 9; 7; 8; 3; 5; 12;
15; 18; 3; 12; 14; 2; 9; 6; 15; 15; 7; 6; 12.
a) Ghép nhóm dãy số liệu trên thành các khoảng có độ rộng bằng nhau, khoảng đầu tiên là [0;5). Tìm giá trị đại diện cho mỗi nhóm
b) Tính số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào chính xác hơn?
c) Xác định nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm thu được
Hướng dẫn giải
a) Các nhóm có độ rộng bằng nhau và độ rộng của mỗi nhóm là 5. Để cho thuận tiện, ta chia thành 7 nhóm là các nhóm [0; 5), [5; 10), [10; 15), [15; 20), [20; 25), [25; 30), [30; 35). Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm, ta có mẫu số liệu ghép nhóm như sau:
| Quãng đường (km) | [0;5) | [5;10) | [10;15) | [15;20) | [20;25) | [25;30) | [30;35) |
| Số công nhân | 6 | 10 | 11 | 9 | 1 | 1 | 2 |
| Giá trị đại diện | 2.5 | 7.5 | 12.5 | 17.5 | 22.5 | 27.5 | 32.5 |
b) Số trung bình với mẫu số liệu không ghép nhóm là:
\(\overline x\) = (5 + 3 + 10 + 20 + 25 + 11 + 13 + 7 + 12 + 31 + 19 + 10 + 12 + 17 + 18 + 11 + 32 + 17 + 16 + 2 + 7 + 9 + 7 + 8 + 3 + 5 + 12 + 15 + 18 + 3 + 12 + 14 + 2 + 9 + 6 + 15 + 15 + 7 + 6 + 12) : 40 = 11.9
Số trung bình với mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\bar x = \frac{{2,5.6 + 7,5.10 + 12,5.11 + 17,5.9 + 22,5.1 + 27,5.1 + 32,5.2}}{{40}} = 12.5\)
Số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm chính xác hơn
c) 11 là tần số lớn nhất nên nhóm chưa mốt là [10;15)
Giải bài 3.5 trang 67 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Tuổi thọ (năm) của 50 bình ắc quy ô tô được cho như sau:
| Tuổi thọ (năm) | [2;2.5) | [2.5;3) | [3;3.5) | [3.5;4) | [4;4.5) | [4.5;5) |
| Tần số | 4 | 9 | 14 | 11 | 7 | 5 |
a) Xác định mốt và giải thích ý nghĩa
b) Tính tuổi thọ trung bình của 50 bình ắc quy ô tô này
Hướng dẫn giải
a) Quan sát bảng số liệu ta thấy: 14 là tần số lớn nhất
=> Mốt thuộc nhóm [3; 3.5), ta có: \(j = 3,{a_3} = 3,{m_3} = 14,{m_2} = 9,{m_4} = 11,h = 0,5\)
Khi đó mốt của mẫu số liệu đã cho là: \(\Rightarrow {M_o} = 3 + \frac{{14 - 9}}{{(14 - 9) + (14 - 11)}}.0,5 = 3,31\)
b) Ta có bảng giá trị đại diện của mẫu số liệu đã cho là:
| Tuổi thọ (năm) | [2;2.5) | [2.5;3) | [3;3.5) | [3.5;4) | [4;4.5) | [4.5;5) |
| Tần số | 4 | 9 | 14 | 11 | 7 | 5 |
| Giá trị đại diện | 2.25 | 2.75 | 3.25 | 3.75 | 4.25 | 4.75 |
Tuổi thọ trung bình là:
\(\bar x = \frac{{4.2,25 + 9.2,75 + 14.3,25 + 11.3,75 + 7.4,25 + 5.4,75}}{{50}} = 3,48\)
Giải bài 3.6 trang 67 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Điểm thi môn Toán (thang điểm 100, điểm được làm tròn đến 1) của 60 thí sinh được cho trong bảng sau:
| Điểm | 0 - 9 | 10 - 19 | 20 - 29 | 30 - 39 | 40 - 49 |
| Số thí sinh | 1 | 2 | 4 | 6 | 15 |
| Điểm | 50 - 59 | 60 - 69 | 70 - 79 | 80 - 89 | 90 - 99 |
| Số thí sinh | 12 | 10 | 6 | 3 | 1 |
a) Hiệu chỉnh để thu được mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2
b) Tìm các tứ phân vị và giải thích ý nghĩa của chúng
Hướng dẫn giải
a) Hiệu chỉnh để thu được mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2 ta được mẫu số liệu ghép nhóm như sau:
| Điểm | [0;10) | [10;20) | [20;30) | [30;40) | [40;50) | [50;60) | [60;70) | [70;80) | [80;90) | [90;100) |
| Số thí sinh | 1 | 2 | 4 | 6 | 15 | 12 | 10 | 6 | 3 | 1 |
b) Cỡ mẫu n = 60
Tứ phân vị thứ nhất \(Q_{1}\) là \(\frac{x_{15}+x_{16}}{2}\) .
Vì \(x_{15},x_{16}\) đều thuộc nhóm [40;50) => Nhóm này chứa \(Q_{1}\) .
=> \(p=5;a_{5}=40,m_{5}=15,m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}=1+2+4+6=13,4\)
\(4a_{6}-a_{5}=10\) và ta có: \({Q_1} = 40 + \frac{{\frac{{60}}{4} - 13}}{{15}}.10 = 41,33\)
Ý nghĩa: Có 25% số giá trị nhỏ hơn 41.3
Tứ phân vị thứ hai tức \(M_{e} là \frac{x_{30}+x_{31}}{2}\) .
Vì \(x_{30},x_{31}\) đều thuộc nhóm [50;60) => Nhóm này chứa \(M_{e}\) .
=>\(p=6;a_{6}=50,m_{6}=12\),\(m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}+m_{5}=1+2+4+6+15=28\),
\(a_{7}-a_{6}=10\) và ta có: \({M_e} = 50 + \frac{{\frac{{60}}{2} - 28}}{{12}}.10 = 51,67\)
Ý nghĩa: Có 50% số giá trị nhỏ hơn 51.67
Tứ phân vị thứ ba \(Q_3\) là: \(\frac{{{x_{45}} + {x_{46}}}}{2}\).
Vì \(x_{45},x_{46}\) đều thuộc nhóm [60;70) => Nhóm này chứa \(Q_{3}\).
=>\(p=7;a_{7}=60,m_{7}=10\),\(m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}+m_{5}+m_{6}=1+2+4+6+15+12=40\)
\(a_{8}-a_{7}=10\) và ta có: \({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{60.3}}{4} - 40}}{{10}}.10 = 65\)
Ý nghĩa: Có 75% số giá trị nhỏ hơn 65
Giải bài 3.7 trang 67 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Phỏng vấn một số học sinh khối 11 về thời gian (giờ) ngủ của một buổi tối, thu được kết quả số liệu ở bên
| Thời gian | Số học sinh nam | Số học sinh nữ |
| [4;5) | 6 | 4 |
| [5;6) | 10 | 8 |
| [6;7) | 13 | 10 |
| [7;8) | 9 | 11 |
| [8;9) | 7 | 8 |
a) So sánh thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam và nữ
b) Hãy cho biết 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất bao nhiêu giờ?
Hướng dẫn giải
a) Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:
| Thời gian | Giá trị đại diện | Số học sinh nam | Số học sinh nữ |
| [4;5) | 4.5 | 6 | 4 |
| [5;6) | 5.5 | 10 | 8 |
| [6;7) | 6.5 | 13 | 10 |
| [7;8) | 7.5 | 9 | 11 |
| [8;9) | 8.5 | 7 | 8 |
Cỡ mẫu: n1 = 6 + 10 + 13 + 9 + 7 = 45.
Thời gian ngủ trung bình của các bạn nam là:
\({\bar x_{nam}} = \frac{{4,5.6 + 5,5.10 + 6,5.13 + 7,5.9 + 8,5.7}}{{45}} = 6,52\)
Thời gian ngủ trung bình của các bạn nữ là:
\({\bar x_N} = \frac{{4,5.4 + 5,5.8 + 6,5.10 + 7,5.11 + 8,5.8}}{{45}} = 6,77\)
Ta thấy: 6.77 > 6.52.
=> Thời gian ngủ trung bình của các bạn nữ nhiều hơn các bạn nam.
b) Cỡ mẫu n = 86
Tứ phân vị thứ nhất \(Q_{1}\) là \(\frac{x_{21}+x_{22}}{2}\) .
Vì \(x_{21},x_{22}\) đều thuộc nhóm [5;6) => Nhóm này chứa \(Q_{1}\) .
=> \(p = 2,{a_2} = 5,{m_2} = 18;{m_1} = 10,{a_3} - {a_2} = 1\) và ta có:
\({Q_1} = 5 + \frac{{\frac{{86}}{4} - 10}}{{18}}.1 = 5,64\)
Vậy 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất 5.64 giờ
--------------------------
Qua Giải Toán 11 trang 67 tập 1 Kết nối tri thức, học sinh có thể củng cố kiến thức về các đại lượng đặc trưng cho xu thế trung tâm của mẫu số liệu. Việc hiểu đúng ý nghĩa và cách xác định từng đại lượng sẽ giúp phân tích, so sánh dữ liệu hiệu quả hơn. Luyện tập thêm các dạng bài tương tự là cách thiết thực để nâng cao kỹ năng thống kê và học tốt môn Toán 11.
