Nhận thấy đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với 
\({u_1} = {132.10^{ - 3}},q = {10^{ - 3}}\)
\(\Rightarrow 5.(132) = 5 + \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{{{132.10}^{ - 3}}}}{{1 - {{10}^{ - 3}}}} = \frac{{1709}}{{333}}\)
Giải Toán 11 trang 124 tập 1 Kết nối tri thức
Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 16 Bài tập cuối chương 5
Dạng tài liệu:
Giải bài tập Toán Lớp 11
Phân loại:
Tài liệu Tính phí
Giải SGK Toán 11 KNTT trang 124 bài tập cuối chương 5
- Giải bài 5.25 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.26 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.27 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.28 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.29 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.30 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.31 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.32 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.33 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.34 trang 124 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Giải Toán 11 trang 124 tập 1 Kết nối tri thức cung cấp lời giải các bài tập thuộc Bài 17: Hàm số liên tục. Nội dung bám sát SGK Toán 11 KNTT, giúp học sinh hiểu khái niệm hàm số liên tục, nhận biết tính liên tục và vận dụng kiến thức vào từng dạng bài cụ thể.
Giải bài 5.25 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Cho dãy số (un) có tính chất \(\left| {{u_n} - 1} \right| < \frac{2}{n}\;\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}
|{u_n} - {\rm{ }}1| < \frac{2}{n} \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{n} < {u_n} - 1 < \frac{2}{n}\\
\Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{n} + 1 < {u_n} < \frac{2}{n} + 1
\end{array}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\lim \left( {\frac{{ - 2}}{n} + {\rm{ }}1} \right) = 1;\lim \left( {\frac{2}{n} + 1} \right) = 1}\\
{ \Rightarrow \lim {u_n} = 1}
\end{array}\)
Giải bài 5.26 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Tìm giới hạn của các dãy số sau:
a) \(u_{n}=\frac{n^{2}}{3n^{2}+7n-2}\) b) \(v_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{3^{k}+5^{k}}{6^{k}}\) c) \({w_n} = \frac{{\sin n}}{{4n}}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\lim {u_n} = \lim \left( {\frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}} \right) = \lim \left( {\frac{{\frac{{{n^2}}}{{{n^2}}}}}{{\frac{{3{n^2} + 7n - 2}}{{{n^2}}}}}} \right)\)
\(= \lim \left( {\frac{{\frac{{{n^2}}}{{{n^2}}}}}{{\frac{{3{n^2}}}{{{n^2}}} + \frac{{7n}}{{{n^2}}} - \frac{2}{{{n^2}}}}}} \right) = \lim \left( {\frac{1}{{3 + \frac{7}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}}}} \right) = \frac{1}{3}\)
b) Ta có:
\(\lim \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}} = } \lim \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{\frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}}}{{\frac{{{6^k}}}{{{6^k}}}}}}\)
\(\lim \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{{\left( {\frac{3}{6}} \right)}^k} + {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^k}}}{{{{\left( {\frac{6}{6}} \right)}^k}}}} = \lim \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^k} + {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^k}}}{{{1^k}}}} = 0\)
c) Ta có
\(\lim \frac{{\sin n}}{4} = \lim \left[ {\left( {\frac{{\sin n}}{n}} \right).\frac{1}{4}} \right]\)\(= \lim \left( {\frac{{\sin n}}{n}} \right).\lim \left( {\frac{1}{4}} \right) = 1.\frac{1}{4} = \frac{1}{4}\)
Giải bài 5.27 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số
a) 1.(01) b) 5.(132)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}
1.\left( {01} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}0.01{\rm{ }} + {\rm{ }}0.0001{\rm{ }} + {\rm{ }}0.000001{\rm{ }} + ...\\
= {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}{1.10^{ - 2}} + {\rm{ }}{1.10^4} + {\rm{ }}{1.10^6} + ...
\end{array}\)
Nhận thấy đây tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1, q = 10−2
\(\Rightarrow 1.\left( {01} \right) = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - {{10}^{ - 2}}}} = \frac{{100}}{{99}}\)
b) Ta có:
\(5.\left( {132} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}0.132{\rm{ }} + {\rm{ }}0.000132{\rm{ }} + {\rm{ }}0.000000132{\rm{ }} + ...\)
\(= 5 + {132.10^{ - 3}} + {132.10^{ - 6}} + {132.10^{ - 9}} + ...\)
Giải bài 5.28 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x + 2} - 3}}{{x - 7}}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x + 2} - 3}}{{x - 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\left( {\sqrt {x + 2} - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 3} \right)}}{{\left( {x - 7} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 3} \right)}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{x + 2 - 3}}{{\left( {x - 7} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 3}} = \frac{1}{6}\)
b) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = \frac{3}{2}\)
c) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\left( {2 - x} \right).\frac{1}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}} \right]\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2 - x} \right) = 1\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\frac{1}{{{{(1 - x)}^2}}}} \right] = + \infty
\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = + \infty\)
d) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{{x + 2}}{x}}}{{\frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}{x}}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}}{{\sqrt {\frac{{4{x^2} + 1}}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{ - \sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = - \frac{1}{2}\)
Giải bài 5.29 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Tính các giới hạn một bên
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} - 9}}{{|x - 3|}}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{x}{{\sqrt {1 - x} }}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(x \to {3^ + } \Rightarrow x - 3 > 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} - 9}}{{\left| {x - 3} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} (x + 3) = 6\)
b) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{\sqrt {1 - x} }} = + \infty\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{x}{{\sqrt {1 - x} }} = + \infty\)
Giải bài 5.30 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Chứng minh rằng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{|x|}}{x}\) không tồn tại
Hướng dẫn giải
Ta có: \(f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{|x|}}{x}\)
Ta lấy hai dãy của biến hội tụ về 0 \(x_{n}^{(1)}=\frac{1}{n};x_{n}^{(2)}=\frac{-1}{n}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\lim f(x_n^{(1)}) = \lim \frac{{\frac{1}{n}}}{{\frac{1}{n}}} = 1\\
\lim f(x_n^{(2)}) = \lim \frac{{\frac{1}{n}}}{{ - \frac{1}{n}}} = - 1
\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x_n^{(1)}) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x_n^{(2)})\)
Vậy không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{|x|}}{x}\).
Giải bài 5.31 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho
a) \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{1}{x};{\rm{ }}neu{\rm{ }}x \ne 0}\\
{1;{\rm{ }}neu{\rm{ }}x = 0}
\end{array}} \right.\) tại điểm \(x = 0\)
b) \(g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 + x;{\rm{ neu }}x < 1}\\
{2 - x;{\rm{ neu }}x \ge 1}
\end{array}} \right.\) tại điểm \(x=1\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{x}} \right) = + \infty \\
f\left( 0 \right) = 1
\end{array} \right.\)
Vì \(f(0)\neq \underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)\) suy ra hàm số gián đoạn tại x = 0.
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (1 + x) = 2\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (2 - x) = 1
\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right)\)
Do đó không tồn tại \(\underset{x\rightarrow 1}{lim}(gx)\)
Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1
Giải bài 5.32 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm Trái Đất là \(F\left( r \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{GMr}}{{{R^3}}};neu{\rm{ }}r < R\\
\frac{{GM}}{{{r^2}}};neu{\rm{ }}r \ge R
\end{array} \right.\) , trong đó M và R là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số F(r)
Hướng dẫn giải
Vì M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn, do đó M, R, G đều khác 0, r là khoảng cách nên r > 0.
Ta có: \(F\left( r \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{GMr}}{{{R^3}}};neu{\rm{ }}r < R\\
\frac{{GM}}{{{r^2}}};neu{\rm{ }}r \ge R
\end{array} \right.\)
Tập xác định của hàm số F(r) là (0; +∞).
Với r < R thì \(F\left( r \right) = \frac{{GMr}}{{{R^3}}}\) hay \(F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{R^3}}}.r\) là hàm đa thức nên nó liên tục trên (0; R).
Với r > R thì \(F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{r^2}}}\) là hàm phân thức nên nó liên tục trên (R; +∞).
Tại r = R, ta có \(F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ + }} F\left( r \right) = \mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ + }} \frac{{GM}}{{{r^2}}} = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ - }} F\left( r \right) = \mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ + }} \frac{{GMr}}{{{R^3}}} = \frac{{GMR}}{{{R^3}}} = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ + }} F\left( r \right) = \mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ - }} F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{r \to R} F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{R^2}}} = F\left( R \right)\)
=> Hàm số F(r) liên tục tại r = R.
Vậy hàm số F(r) liên tục trên (0; +∞).
Giải bài 5.33 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm số này liên tục trên các khoảng xác định của chúng
a)\(f(x) = \frac{{\cos x}}{{{x^2} + 5x + 6}}\) b) \(g(x) = \frac{{x - 2}}{{\sin x}}\)
Hướng dẫn giải
a) Biểu thức có nghĩa khi x2+ 5x + 6 ≠ 0 ⇔ (x + 2)(x + 3) ≠ 0 \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne - 2\\
x \ne - 3
\end{array} \right.\)
=> Tập xác định của hàm số f(x) là \(ℝ \setminus {– 3; – 2} = (–∞; – 3) ∪ (– 3; – 2) ∪ (– 2; +∞)\)
=> Hàm số f(x) xác định trên các khoảng (–∞; – 3), (– 3; – 2) và (– 2; +∞).
Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục.
Vậy hàm số \(f(x) = \frac{{\cos x}}{{{x^2} + 5x + 6}}\) liên tục trên các khoảng xác định của chúng.
b) Biểu thức \(\frac{{x - 2}}{{\sin x}}\) nghĩa khi sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ ℤ.
Do đó, tập xác định của hàm số g(x) là ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}. Hay hàm số g(x) xác định trên các khoảng (kπ; (k + 1)π) với k ∈ ℤ.
Trên các khoảng xác định của hàm số g(x), tử thức x – 2 (hàm đa thức) và mẫu thức sin x (hàm lượng giác) là các hàm số liên tục.
Vậy hàm số \(g(x) = \frac{{x - 2}}{{\sin x}}\) liên tục trên các khoảng xác định của chúng.
Giải bài 5.34 trang 124 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Tìm các giá trị của a để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
x + 1;{\rm{ }}neu{\rm{ }}x \le a\\
{x^{^2}};{\rm{ }}neu{\rm{ }}x > a
\end{array} \right.\) liên tục trên ℝ.
Hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số f(x) là ℝ.
Với x < a thì f(x) = x + 1 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (–∞; a).
Với x > a thì f(x) = x2 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (a; +∞).
Tại x = a, ta có f(a) = a + 1.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \left( {x + 1} \right) = a + 1\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \left( {{x^2}} \right) = {a^2}
\end{array} \right.\)
Để hàm số f(x) đã cho liên tục trên ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = a
\(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\)
\(\Leftrightarrow a + 1 = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} - a - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\\
a = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.\)
Vậy \(a \in \left\{ {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
--------------------------
Với Giải Toán 11 trang 124 tập 1 Kết nối tri thức, học sinh có thể ôn lại kiến thức chương 5 thông qua các dạng bài tổng hợp và kiểm tra kết quả sau khi hoàn thành. Lời giải được trình bày theo hướng rõ ràng, hỗ trợ quá trình tự học và củng cố kỹ năng làm bài. Chủ động luyện tập thêm sẽ giúp học sinh nâng cao khả năng vận dụng và học tốt môn Toán 11.
