Giải Toán 11 trang 106 tập 1 Kết nối tri thức
Giải SGK Toán 11 KNTT trang 106 bài 15
Giải Toán 11 trang 106 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn các bài tập thuộc Bài 15: Giới hạn của dãy số. Lời giải bám sát SGK Toán 11 KNTT, trình bày rõ ràng giúp học sinh nắm cách tính giới hạn, vận dụng quy tắc và củng cố kiến thức về dãy số.
Giải luyện tập 2 trang 106 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Cho dãy số (un) với 
\({u_n} = \frac{{{{3.2}^n} - 1}}{{{2^n}}}\). Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 3\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\({u_n} - 3 = \frac{{{{3.2}^n} - 1}}{{{2^n}}} - 3 = \frac{{\left( {{{3.2}^n} - 1} \right) - {{3.2}^n}}}{{{2^n}}} = - \frac{1}{{{2^n}}} \to 0\) khi n ⟶ +∞.
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 3\) (Điều phải chứng minh)
Giải vận dụng 1 trang 106 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử un là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn là 0.
Hướng dẫn giải
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bỏng nảy lên một độ cao là \({u_1} = \frac{2}{3}.5\)
Tiếp tục, bóng rơi từ độ cao u1 xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là
\({u_2} = \frac{2}{3}.{u_1} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3}.5 = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}.5\)
Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u2 xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là
\({u_3} = \frac{2}{3}{u_2} = \frac{2}{3}.\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}.5} \right] = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3}.5\)
….…
Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là \({u_n} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}.5\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\) (điều phải chứng minh)
Giải hoạt động 3 trang 106 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Hình thành quy tắc tính giới hạn
Cho hai dãy số (un) và (vn) với \({u_n} = 2 + \frac{1}{n},{\rm{ }}{v_n} = 3 - \frac{2}{n}\).
Tính và so sánh: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\({u_n} + {v_n} = 2 + \frac{1}{n} + 3 - \frac{2}{n} = 5 - \frac{1}{n}\)
Xét \({u_n} + {v_n} - 5 = 5 - \frac{1}{n} - 5 = - \frac{1}{n}\) tiến đến không khi n ⟶ +∞.
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = 5\)
Ta có: \({u_n} - 2 = 2 + \frac{1}{n} - 2 = \frac{1}{n} \to 0\)khi n ⟶ +∞.
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = 2\)
Lại có: \({v_n} - 3 = 3 - \frac{2}{n} - 3 = - \frac{2}{n} \to 0\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{v_n}} \right) = 3\)
Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{v_n}} \right) = 2 + 3 = 5\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\)
------------------------------
Qua Giải Toán 11 trang 106 tập 1 Kết nối tri thức, học sinh có thể đối chiếu kết quả và hiểu rõ hơn các phương pháp tìm giới hạn của dãy số. Việc nắm chắc các quy tắc tính giới hạn sẽ giúp xử lý linh hoạt nhiều dạng bài tập và tạo nền tảng cho những nội dung tiếp theo. Hãy chủ động luyện tập để củng cố kiến thức và học tốt môn Toán 11.
