Giải Toán 11 trang 108 tập 1 Kết nối tri thức
Giải SGK Toán 11 KNTT trang 108 bài 15
Giải Toán 11 trang 108 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn các bài tập thuộc Bài 15: Giới hạn của dãy số. Lời giải bám sát SGK Toán 11 KNTT, trình bày rõ ràng giúp học sinh nắm cách tính giới hạn, vận dụng quy tắc và củng cố kiến thức về dãy số.
Giải luyện tập 4 trang 108 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Tính tổng 
\(S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{{{7^2}}} + ... + \frac{2}{{{7^{n - 1}}}} + ....\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{{{7^2}}} + ... + \frac{2}{{{7^{n - 1}}}} + ....\)
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 2 và \(q = \frac{1}{7}\)
Khi đó tổng cần tìm được tính như sau: \(= > S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{2}{{1 - \frac{1}{7}}} = \frac{{14}}{6} = \frac{7}{3}\)
Giải vận dụng 2 trang 108 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
(Giải thích nghịch lí Zeno). Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu là a = 100 (km).
a) Tính thời gian \({t_1};{t_2};..;{t_n}\) tương ứng để Achilles đi từ A1đến A2, từ A2 đến A3, ... từ An đến An + 1, ...
b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường A1A2, A2A3, ..., AnAn + 1, ..., tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa.
c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?
Hướng dẫn giải:
Biểu diễn các điểm dừng trên trục như sau
Ta có: Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h.
a) Để chạy hết quãng đường từ A1 đến A2 với A1A2 = a = 100 (km), Achilles phải mất thời gian \({t_1} = \frac{{100}}{{100}} = 1\left( h \right)\).
Với thời gian t1 này, rùa đã chạy được quãng đường A2A3 = 1 (km).
Để chạy hết quãng đường từ A2 đến A3 với A2A3 = 1 (km), Achilles phải mất thời gian \({t_2} = \frac{1}{{100}}\left( h \right)\). Với thời gian t2 này, rùa đã chạy được quãng đường A3A4 = \(\frac{1}{{100}}\) (km).
Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường từ An đến An + 1 với (km), Achilles phải mất thời gian \({t_n} = \frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}}\) (h). ...
b) Tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường \({A_1}{A_2};{A_2}{A_3};....;{A_n}{A_{n + 1}};...\) tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là \({A_n}{A_{n + 1}} = \frac{1}{{{{100}^{n - 2}}}}\)
\(T = 1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{{{100}^2}}} + \frac{1}{{{{100}^3}}} + .... + \frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}} + \frac{1}{{{{100}^n}}} + ...\) (giờ)
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 1;q = \frac{1}{{100}}\)
Khi đó ta tính được tổng thời gian như sau: \(T = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{100}}{{99}}\) (giờ)
Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau \(\frac{{100}}{{99}}\) giờ.
c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.
Giải hoạt động 5 trang 108 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Nhận biết giới hạn vô cực
Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.
a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn un sau chu kì thứ n.
b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?
Hướng dẫn giải
a) Ta có số lượng ban đầu của vi khuẩn là u0 = 50.
Sau chu kì thứ nhất, số lượng vi khuẩn là u1 = 2u0 = 2 . 50.
Sau chu kì thứ hai, số lượng vi khuẩn là u2 = 2u1 = 2 . 2 . 50 = 22 . 50.
Cứ tiếp tục như vậy, ta dự đoán được sau chu kì thứ n, số lượng vi khuẩn là un = 2n . 50.
b) Giả sử sau chu kì thứ k, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000.
------------------------------
Qua Giải Toán 11 trang 108 tập 1 Kết nối tri thức, học sinh có thể đối chiếu kết quả và hiểu rõ hơn các phương pháp tìm giới hạn của dãy số. Việc nắm chắc các quy tắc tính giới hạn sẽ giúp xử lý linh hoạt nhiều dạng bài tập và tạo nền tảng cho những nội dung tiếp theo. Hãy chủ động luyện tập để củng cố kiến thức và học tốt môn Toán 11.
