Giải Toán 11 trang 113 tập 1 Kết nối tri thức
Giải SGK Toán 11 KNTT trang 113 bài 16
Giải Toán 11 trang 113 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn chi tiết các bài tập thuộc Bài 16: Giới hạn của hàm số. Nội dung bám sát SGK Toán 11 KNTT, giúp học sinh hiểu cách xác định giới hạn, vận dụng các quy tắc tính và rèn luyện kỹ năng giải bài tập hiệu quả.
Giải luyện tập 1 trang 113 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Tính 
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}}\)
Hướng dẫn giải
Dễ thấy mẫu thức có giới hạn là 0 khi x ⟶ 1 nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.
Ta có:
\(\frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x + 1\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\sqrt x + 1} \right) = 1 + 1 = 2\)
Giải hoạt động 2 trang 113 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Nhận biết khái niệm giới hạn một bên
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}}.\)
a) Cho \({x_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\) và \(x{'_n} = 1 + \frac{1}{n}\). Tính yn = f(xn) và y'n = f(x'n).
b) Tìm giới hạn của các dãy số (yn) và (y'n).
c) Cho các dãy số (xn) và (x'n) bất kì sao cho xn < 1 < x'n và xn ⟶ 1, x'n ⟶ 1, tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {x{'_n}} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \({x_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < {\rm{ }}1\) với mọi n > 0 => xn - 1 < 0 với mọi n > 0.
\(\Rightarrow {y_n} = f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{\left| {{x_n} - 1} \right|}}{{{x_n} - 1}} = \frac{{ - \left( {{x_n} - 1} \right)}}{{{x_n} - 1}} = - 1\)
Ta cũng có: \(x'_{n} = 1 + \frac{1}{n} > 1\) với mọi n > 0 => x'n - 1 < 0 với mọi n > 0.
\(\Rightarrow {y_n}' = f\left( {{x_n}'} \right) = \frac{{\left| {{x_n}' - 1} \right|}}{{{x_n}' - 1}} = \frac{{{x_n}' - 1}}{{{x_n}' - 1}} = 1\)
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( { - 1} \right) = - 1\\
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( 1 \right) = 1
\end{array} \right.\)
c) Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}} = \left\{ \begin{array}{l}
1;{\rm{ }}neu{\rm{ }}x - 1 > 0\\
- 1;{\rm{ }}neu{\rm{ }}x - 1 < 0
\end{array} \right.\)
Vì xn < 1 < x'n, suy ra xn – 1 < 0 và x'n – 1 > 0 với mọi n.
=> f(xn) = – 1 và f(x'n) = 1.
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = - 1;\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = 1\)
Giải luyện tập 2 trang 113 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - x;neux < 0}\\
{\sqrt x ;neux \ge 0}
\end{array}} \right.\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\)
Hướng dẫn giải
Với dãy số (xn) bất kì sao cho xn < 0 và xn ⟶ 0, ta có f(xn) = – xn.
\(= > \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - {x_n}} \right) = 0\)
Với dãy số (xn) bất kì sao cho xn > 0 và xn ⟶ 0, ta có f(xn) = √xn.
\(= > \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{x_n}} } \right) = 0\)
\(= > \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 0\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 0\)
Giải hoạt động 3 trang 114 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 1 + \frac{2}{{x - 1}}\) có đồ thị như Hình 5.4.
Giả sử (xn) là dãy số sao cho xn > 1, xn ⟶ +∞. Tính f(xn) và tìm\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\)
Hướng dẫn giải
Với (xn) là dãy số sao cho xn > 1, xn ⟶ +∞.
Ta có: \(f\left( x \right) = 1 + \frac{2}{{x - 1}}\)
Khi xn ⟶ +∞ thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{2}{{{x_n} - 1}}} \right)\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{2}{{{x_n} - 1}}} \right) = 1\)
--------------------------------
Với Giải Toán 11 trang 113 tập 1 Kết nối tri thức, học sinh có thể thuận tiện kiểm tra đáp án và củng cố phương pháp tìm giới hạn của hàm số. Việc nắm chắc các quy tắc và dạng giới hạn thường gặp giúp quá trình giải bài chính xác, linh hoạt hơn. Chủ động luyện tập thêm sẽ hỗ trợ học sinh xây dựng nền tảng vững chắc và học tốt môn Toán 11.
