Giải Toán 11 trang 21 tập 1 Kết nối tri thức

Giải Toán 11 trang 21 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn chi tiết các bài tập thuộc Bài 2: Công thức lượng giác, giúp học sinh dễ dàng vận dụng công thức cộng, công thức nhân đôi và các hệ thức lượng giác để giải bài. Lời giải bám sát SGK, trình bày ngắn gọn, dễ hiểu, hỗ trợ học tốt Toán 11.

Giải bài 1.7 trang 21 SGK Toán 11 KNTT

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\cos15^{\circ}=\cos(45^{\circ}-30^{\circ})\)

\(=\cos45^{\circ}\cos30^{\circ}+\sin45^{\circ}\sin30^{\circ}\)

\(=\frac{\sqrt{2}}{2}. \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}. \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)

Ta có:

\(\sin15^{\circ}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})\)

\(=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}\)

\(=\frac{\sqrt{2}}{2}. \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}. \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

Ta có: 

\(\tan15^{\circ}=\tan(45^{\circ}-30^{\circ})\)

\(=\frac{\tan45^{\circ}-\tan30^{\circ}}{1+\tan45^{\circ}\tan30^{\circ}}\)\(=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=2-\sqrt{3}\)

\(\cot15^{\circ}=\frac{1}{\tan15^{\circ}}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}\)

Giải bài 1.8 trang 21 SGK Toán 11 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Vì \(\frac{\pi }{2}< a<\pi\) suy ra cos a < 0

Ta có:

\(sin^{2}a+cos^{2}a=1\)

\(\Rightarrow cosa=-\sqrt{1-sin^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{1}{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}\)

\(cos(a+\frac{\pi }{6})=cosacos\frac{\pi }{6}-sinasin\frac{\pi }{6}\)

\(=-\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{1}{2}=\frac{-\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{6}\)

b) Vì \(\pi < a<\frac{3\pi }{2}\) suy ra sina < 0

Ta có:

\(sin^{2}a+cos^{2}a=1\)

\(\Rightarrow sina=-\sqrt{1-cos^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(\Rightarrow tana=\frac{sina}{cosa}=2\sqrt{2}\)

\(tan(a-\frac{\pi }{4})=\frac{tana-tan\frac{\pi }{4}}{1+tanatan\frac{\pi }{4}}\)\(=\frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}-1}{1+(-\frac{2\sqrt{2}}{3})}=-17+12\sqrt{2}\)

Giải bài 1.9 trang 21 SGK Toán 11 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Vì \(\frac{\pi }{2}< a<\pi\) suy ra cosa < 0

Ta có:

\(sin^{2}a+cos^{2}a=1\)

\(\Rightarrow cosa=-\sqrt{1-sin^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(\Rightarrow tana=\frac{sina}{cosa}=2\sqrt{2}\)

\(sin2a=2sinacosa\)\(=2.\frac{1}{3}.(-\frac{2\sqrt{2}}{3})=\frac{-4\sqrt{2}}{9}\)

\(cos2a=cos^{2}a-sin^{2}a\)\(=\frac{8}{9}-\frac{1}{9}=\frac{7}{9}\)

\(tan2a=\frac{2tana}{1-tan{2}a}\)\(=\frac{2. 2\sqrt{2}}{1-(2\sqrt{2})^{2}}=\frac{-4\sqrt{2}}{7}\)

b) Ta có:

\(sina+cosa=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow (sina+cosa)^{2}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow sin^{2}a+cos^{2}a+2sinacosa=\frac{1}{4}\)\(\Rightarrow sin2a=\frac{1}{4}-1=\frac{-3}{4}\)

Vì \(\frac{\pi }{2}< a<\frac{3\pi }{4}\)\(\Rightarrow \pi <2a<\frac{3\pi }{2}\)\(\Rightarrow cos2a<0\)

Khi đó: \(cos2a=-\sqrt{1-sin^{2}2a}\)\(=-\sqrt{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}\)

Vậy \(tan2a=\frac{sin2a}{cos2a}=\frac{\frac{-3}{4}}{\frac{-\sqrt{7}}{4}}=\frac{3}{\sqrt{7}}\)

Giải bài 1.10 trang 21 SGK Toán 11 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(A=\frac{sin\frac{\pi }{15}cos\frac{\pi }{10}+sin\frac{\pi }{10}cos\frac{\pi }{15}}{cos\frac{2\pi }{15}cos\frac{\pi }{5}-sin\frac{2\pi }{15}sin\frac{\pi }{5}}\)\(=\frac{\frac{1}{2}(sin\frac{-\pi }{30}+sin\frac{\pi }{6})+\frac{1}{2}(sin\frac{\pi }{30}+sin\frac{\pi }{6})}{\frac{1}{2}(cos\frac{-\pi }{15}+cos\frac{\pi }{3})-\frac{1}{2}(cos\frac{-\pi }{15}-cos\frac{\pi }{3})}\)

\(=\frac{-sin\frac{\pi }{30}+sin\frac{\pi }{30}+2sin\frac{\pi }{6}}{2cos\frac{\pi }{3}}\)\(=\frac{sin\frac{\pi }{6}}{cos\frac{\pi }{3}}=1\)

b) Ta có:

\(B=sin\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{8}\)\(=\frac{1}{2}sin\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{8}\)

\(=\frac{1}{4}sin\frac{\pi }{8}cos\frac{\pi }{8}=\frac{1}{8}sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{8}\)

Giải bài 1.11 trang 21 SGK Toán 11 KNTT

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\sin(a + b).\sin(a - b)\)

\(= (\sin a.\cos b + \cos a.\sin b) (\sin a.\cos b - \cos a.\sin a)\)

\(= (\sin a.\cos b)^2 - (\cos a.\sin b)^2\)

\(= \sin^2 a(1 - \sin^2 b) - (1 - \sin^2 a).\sin^2 b\)

\(=sin^{2}a-sin^{2}b\)

\(=cos^{2}b(1-cos^{2}a)-cos^{2}a(1-cos^{2}b)\)

\(=cos^{2}b-cos^{2}a\)

Giải bài 1.12 trang 21 SGK Toán 11 KNTT

Cho tam giác ABC có \(\widehat{B}=75^{\circ};\widehat{C}=45^{\circ}\) và a = BC = 12cm

a) Sử dụng công thức \(S=\frac{1}{2}absinC\) và định lí sin, hãy chứng minh diện tích tam giác ABC cho bởi công thức \(S=\frac{a^{2}sinBsinC}{2sinA}\)

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC

Hướng dẫn giải

a) Định lí sin:

\(sin\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}\) => \(sinA = \frac{asinB}{b}\)

\(\frac{a^{2}sinBsinC}{2sinA}=\frac{a^{2}sinBsinC}{2\frac{asinB}{b}}\)\(=\frac{1}{2}\frac{a^{2}bsinBsinC}{asinB}=\frac{1}{2}absinC=S\)

b) Ta có:

\(S=\frac{a^{2}sinBsinC}{2sinA}\)

\(=\frac{12^{2}. \frac{1}{2}(cos30^{\circ}-cos120^{\circ})}{2sin(180^{\circ}-75^{\circ}-45^{\circ})}\)\(=36+12\sqrt{3} (cm^{2})\)

Giải bài 1.13 trang 21 SGK Toán 11 KNTT

Trong vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức \(x(t)=Acos(\omega t+\varphi )\), trog đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và \(\varphi \in [-\pi ;\pi ]\) là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hòa có phương trình:

\(x_1(t)=2\cos(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6})\) (cm)

\(x_2(t)=2\cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3})\) (cm)

Tìm dao động tổng hợp \(x(t) = x_1(t) + x_2(t)\) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)\)

\(=2coss(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6})+2cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3})\)

\(=2[2cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{12})cos\frac{\pi }{4}]\)

\(=2\sqrt{2}cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{12})\)

Biên độ là \(A=2\sqrt{2}\), pha ban đầu là \(\varphi =-\frac{\pi }{12}\).

-----------------------------------------

Với Giải Toán 11 trang 21 tập 1 Kết nối tri thức – Bài 2: Công thức lượng giác, học sinh có thể nhanh chóng kiểm tra đáp án, củng cố các công thức quan trọng và rèn luyện phương pháp giải bài tập lượng giác.