Giải Toán 11 trang 109 tập 1 Kết nối tri thức
Giải SGK Toán 11 KNTT trang 109 bài 15
- Giải luyện tập 5 trang 109 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
- Giải bài 5.1 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.2 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.4 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.5 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
- Giải bài 5.6 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Giải Toán 11 trang 109 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn các bài tập thuộc Bài 15: Giới hạn của dãy số. Lời giải bám sát SGK Toán 11 KNTT, trình bày rõ ràng giúp học sinh nắm cách tính giới hạn, vận dụng quy tắc và củng cố kiến thức về dãy số.
Giải luyện tập 5 trang 109 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT
Tính 
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {n - \sqrt n } \right)\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(n - \sqrt n = n\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt n }}} \right)\)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( n \right) = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 - \frac{1}{{\sqrt n }}} \right) = 1
\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {n - \sqrt n } \right) = + \infty\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {n - \sqrt n } \right) = + \infty\)
Giải bài 5.1 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 + \frac{1}{{{n^2}}}}}\)
\(= \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (2 + \frac{1}{{{n^2}}})}} = \frac{1}{2}\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}} = \frac{1}{2}\)
b) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {2{n^2} + 1} - n} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + 2n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2n}}{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1}} = 1\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 1\)
Giải bài 5.2 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Cho hai dãy số không âm \(({u_n})\) và \(({v_n})\) với \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 3\)
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n} + 2{v_n}}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}^2}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} - \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}}} = \frac{{{2^2}}}{{3 - 2}} = 4\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}} = 4\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + 2{v_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} + 2\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 2 + 2.3 = 8\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n} + 2{v_n}} = \sqrt 8
\end{array}\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n} + 2{v_n}} = \sqrt 8\)
Giải bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:
a) \(u_{n}=\frac{n^{2}+1}{2n-1}\) b) \(v_{n}=\sqrt{2n^{2}+1}-n\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}\)\(= \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}\)
Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = 1\\
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty\)
b) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {2{n^2} + 1} - n} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} + 1 - {n^2}}}{{\sqrt {2{n^2} + 1} + n}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}\left( {\sqrt {\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}}} + \frac{1}{n}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt {\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}}} + \frac{1}{n}}} = + \infty\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = + \infty\)
Giải bài 5.4 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:
a) \(1,\left( {12} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}1,121212...\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\) b) \(3,\left( {102} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3,102102102...\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(1,121212... = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,12{\rm{ }} + {\rm{ }}0,0012{\rm{ }} + {\rm{ }}0,000012{\rm{ }} + {\rm{ }}...\)
\(\begin{array}{l}
= 1 + {12.10^{ - 2}} + {12.10^{ - 4}} + {12.10^{ - 6}} + ...\\
= 1 + 12.\left( {{{10}^{ - 2}} + {{10}^{ - 4}} + {{10}^{ - 6}} + ...} \right)
\end{array}\)
Nhận thấy \({{{10}^{ - 2}} + {{10}^{ - 4}} + {{10}^{ - 6}} + ...}\) là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu và công bội lần lượt là \({u_1} = {12.10^{ - 2}},q = {10^{ - 2}}\)
Khi đó:
\(\Rightarrow S = 1,121212... = 1 + \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 1 + \frac{{{{12.10}^{ - 2}}}}{{1 - {{10}^{ - 2}}}} = \frac{{37}}{{33}}\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}
3,102102102...{\rm{ }}\\
= {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}0,102{\rm{ }} + {\rm{ }}0,000102{\rm{ }} + {\rm{ }}0,000000102{\rm{ }} + ...\\
= 3 + {102.10^{ - 3}} + {102.10^{ - 6}} + {102.10^{ - 9}} + ...\\
= 3 + 102.\left( {{{10}^{ - 3}} + {{10}^{ - 6}} + {{10}^{ - 9}} + ...} \right)
\end{array}\)
Nhận thấy \({{{10}^{ - 3}} + {{10}^{ - 6}} + {{10}^{ - 9}} + ...}\) là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu và công bội lần lượt là: \({u_1} = {102.10^{ - 3}},q = {10^{ - 3}}\)
Khi đó:
\(\Rightarrow S = 3,(102) = 3 + \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 3 + \frac{{{{102.10}^{ - 3}}}}{{1 - {{10}^{ - 3}}}} = \frac{{1033}}{{333}}\)
Giải bài 5.5 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.
Hướng dẫn giải
Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày đầu tiên là 150 mg.
Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%.
=> Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ hai là
\(150{\rm{ }} + {\rm{ }}150{\rm{ }}.{\rm{ }}5\% {\rm{ }} = {\rm{ }}150\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05} \right)\)
Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ ba là
\(\begin{array}{l}
150{\rm{ }} + {\rm{ }}150\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05} \right){\rm{ }}.{\rm{ }}5\% {\rm{ }}\\
= {\rm{ }}150{\rm{ }} + {\rm{ }}150\left( {0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}0,{{05}^2}} \right){\rm{ }}\\
= {\rm{ }}150\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}0,{{05}^2}} \right)
\end{array}\)
Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ tư là
\(\begin{array}{l}
150{\rm{ }} + {\rm{ }}150\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}0,{{05}^2}} \right){\rm{ }}.{\rm{ }}5\% {\rm{ }}\\
= {\rm{ }}150\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}0,{{05}^2} + {\rm{ }}0,{{05}^3}} \right)
\end{array}\)
Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ năm là
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
150{\rm{ }} + {\rm{ }}150\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}0,{{05}^2} + {\rm{ }}0,{{05}^3}} \right){\rm{ }}.{\rm{ }}5\% {\rm{ }}\\
= {\rm{ }}150\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}0,{{05}^2} + {\rm{ }}0,{{05}^3} + {\rm{ }}0,{{05}^4}} \right)
\end{array}\\
{ = {\rm{ }}157,8946875{\rm{ }}\left( {mg} \right)}
\end{array}\)
Cứ tiếp tục như vậy, ta ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài là
\(S{\rm{ }} = {\rm{ }}150\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}0,{{05}^2} + {\rm{ }}0,{{05}^3} + {\rm{ }}0,{{05}^4} + {\rm{ }}...} \right){\rm{ }}\left( {mg} \right)\)
Nhận thấy rằng: \(1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}0,{05^2} + {\rm{ }}0,{05^3} + {\rm{ }}0,{05^4} + {\rm{ }}...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = 0,05.
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}0,{05^2} + {\rm{ }}0,{05^3} + {\rm{ }}0,{05^4} + {\rm{ }}...{\rm{ }}\\
= \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{{\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}0{\rm{ }},{\rm{ }}05{\rm{ }}}} = {\rm{ }}\frac{{20}}{{19}}
\end{array}\)
\(\Rightarrow S{\rm{ }} = {\rm{ }}150.\frac{{20}}{{19}} = {\rm{ }}\frac{{3000{\rm{ }}}}{{19}}{\rm{ }}\left( {mg} \right)\)
Giải bài 5.6 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 KNTT
Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA1 ⊥ BC, từ A1 kẻ A1A2 ⊥ AC, sau đó lại kẻ A2A3 ⊥ BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn \(AA_{1}A_{2}A_{3}\)... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α
Hướng dẫn giải
Tam giác AA1B vuông tại A1 có AB = h
\(= > {\rm{ }}A{A_1} = {\rm{ }}AB{\rm{ }}.\sin B{\rm{ }} = {\rm{ }}h{\rm{ }}\sin {\rm{ }}\alpha\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\widehat B + \widehat {BA{A_1}} = {90^0}\\
\widehat {{A_1}A{A_2}} + \widehat {BA{A_1}} = {90^0}
\end{array} \right. = > \widehat {{\rm{ }}{A_1}A{A_2}} = \widehat B = \alpha\)
Ta có:
Vì Δ AA1A2 vuông tại A2\(= > {A_1}{A_2} = A{A_1}\sin A\widehat {_1A{A_2}}{\rm{ }} = h.\sin \alpha .\sin {\rm{ }}\alpha = h.{\sin ^2}\alpha\)
Vì AB ⊥ AC và A1A2⊥ AC => AB // A1A2
\(= > \widehat {{A_2}{A_1}{A_3}} = \widehat B = \alpha\) (Hai góc đồng vị).
Vì Δ A1A2A3 vuông tại A3 \(= > {\rm{ }}{A_2}{A_3} = {\rm{ }}{A_1}{A_2}.{\rm{ }}\sin \widehat {{A_2}{A_1}{A_3}} = h{\rm{ }}.{\sin ^2}\alpha {\rm{ }}.{\rm{ }}\sin {\rm{ }}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}h{\rm{ }}{\sin ^3}\alpha\)
Vì AA1 ⊥ BC và A2A3 ⊥ BC
Vì ΔA2A3A4 vuông tại A4 \(= > {\rm{ }}A{A_1}{\rm{// }}{A_2}{A_3} = > {A_3}{A_2}{A_4} = {A_1}A{A_2} = \alpha\)
\(\to {A_3}{A_4} = {A_2}{A_3}.\sin \widehat {{A_3}{A_2}{A_4}} = {\rm{ }}h{\rm{ }}{\sin ^3}{\rm{ }}\alpha {\rm{ }}.{\rm{ }}\sin {\rm{ }}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}h{\rm{ }}{\sin ^4}\alpha\)
Cứ tiếp tục như vậy, ta xác định được \({A_{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}{A_n} = {\rm{ }}h{\rm{ }}{\sin ^n}\alpha\)
Độ dài đường gấp khúc:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{A{A_1}{A_2}{A_3}...{\rm{ }} = {\rm{ }}A{A_1} + {\rm{ }}{A_1}{A_2} + {\rm{ }}{A_2}{A_3} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{A_{n{\rm{ }}--{\rm{ }}1}}{A_n} + {\rm{ }}...}\\
{ = {\rm{ }}h.\sin {\rm{ }}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}h.{{\sin }^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ h}}{\rm{.}}{{\sin }^3}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}h.{{\sin }^n}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}...}
\end{array}\)
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = {\rm{ }}\sin \alpha {\rm{ }}.{\rm{ }}h,{\rm{ }}q{\rm{ }} = {\rm{ }}\sin \alpha\) nên \(A{A_1}{A_2}{A_3}...{\rm{ }} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{h.\sin \alpha }}{{1 - \sin \alpha }}\)
------------------------------
Qua Giải Toán 11 trang 109 tập 1 Kết nối tri thức, học sinh có thể đối chiếu kết quả và hiểu rõ hơn các phương pháp tìm giới hạn của dãy số. Việc nắm chắc các quy tắc tính giới hạn sẽ giúp xử lý linh hoạt nhiều dạng bài tập và tạo nền tảng cho những nội dung tiếp theo. Hãy chủ động luyện tập để củng cố kiến thức và học tốt môn Toán 11.
