VnDoc.com

Phương trình mặt cầu

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Công thức phương trình mặt cầu Toán 12

1. Công thức phương trình mặt cầu
2. Bán kính mặt cầu
3. Công thức tính diện tích mặt cầu
4. Công thức tính thể tích khối cầu
5. Bài tập phương trình mặt cầu

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn tham khảo tài liệu Phương trình mặt cầu Toán 12. Lý thuyết và bài tập mặt cầu do VnDoc giới thiệu tới bạn đọc được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia. Bộ tài liệu giúp bạn đọc củng cố định nghĩa, tính chất, công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

1. Công thức phương trình mặt cầu

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S, tâm I(a; b; c) bán kính R, khi đó ta có:

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$ ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$

Hay

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ (*)

2. Bán kính mặt cầu

TH1: Nhận biết tâm và bán kính mặt cầu từ phương trình mặt cầu

(*) có tâm I(a; b; c), bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$ $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$

Điều kiện cần và đủ để (*) là mặt cầu là: ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$ ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$

Ví dụ: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu:

a. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25$ ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25$

b. ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 6z - 2 = 0$ ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 6z - 2 = 0$

Hướng dẫn giải

a. Tâm mặt cầu là I(1; -2; 3) bán kính R = 5

b. Tâm mặt cầu I(a; b; c): $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{{ - 4}}{{ - 2}} = 2} \\ {b = \dfrac{{ - 2}}{{ - 2}} = 1} \\ {c = \dfrac{6}{{ - 2}} = - 3} \end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {2;1; - 3} \right)$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{{ - 4}}{{ - 2}} = 2} \\ {b = \dfrac{{ - 2}}{{ - 2}} = 1} \\ {c = \dfrac{6}{{ - 2}} = - 3} \end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {2;1; - 3} \right)$

Bán kính mặt cầu là: $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2} - \left( { - 2} \right)} = 4$ $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2} - \left( { - 2} \right)} = 4$

TH2: Mặt cầu tâm I(a; b; c) tiếp xúc với mặt phẳng đặc biệt:

+ Tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) thì R = c

+ Tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) thì R = b

+ Tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) thì R = a

TH3: Mặt cầu tâm I(a; b; c) tiếp xúc với các trục tọa độ

+ Tiếp xúc với trục Ox thì $R = \sqrt {{b^2} + {c^2}}$ $R = \sqrt {{b^2} + {c^2}}$

+ Tiếp xúc với trục Oy thì $R = \sqrt {{a^2} + {c^2}}$ $R = \sqrt {{a^2} + {c^2}}$

+ Tiếp xúc với trục Oz thì $R = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$ $R = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$

3. Công thức tính diện tích mặt cầu

Diện tích mặt cầu được tính bởi công thức sau:

$S = 4\pi {R^2} = \pi .{d^2}$ $S = 4\pi {R^2} = \pi .{d^2}$

4. Công thức tính thể tích khối cầu

Thể tích khối cầu được xác định bởi công thức sau:

$V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$ $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$

5. Bài tập phương trình mặt cầu

Bài tập 1: Trong không gian $Oxyz$, cho các mặt cầu dưới đây. Hỏi mặt cầu nào có bán kính $R = 2$?

$(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0$ $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0$
$(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z - 10 = 0$ $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z - 10 = 0$
$(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0$ $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0$
$(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 5 = 0$ $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 5 = 0$

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$ $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$

Xét phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0$ $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} a = 2;b = - 1 \\ c = - 1;d = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{4} = 2$ $\left\{ \begin{matrix} a = 2;b = - 1 \\ c = - 1;d = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{4} = 2$

Chọn đáp án C

Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;1;2),B(3;2; - 3)$. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I \in Ox$ $I \in Ox$ và đi qua hai điểm $A;B$ có phương trình là:

$(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2 = 0$ $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2 = 0$
$(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 8x + 2 = 0$ $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 8x + 2 = 0$
$(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2 = 0$ $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2 = 0$
$(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x - 2 = 0$ $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x - 2 = 0$

Hướng dẫn giải

Ta có: $I \in Ox \Rightarrow I(a;0;0)$ $I \in Ox \Rightarrow I(a;0;0)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} = (1 - a;1;2) \\ \overrightarrow{IB} = (3 - a;2; - 3) \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} = (1 - a;1;2) \\ \overrightarrow{IB} = (3 - a;2; - 3) \\ \end{matrix} \right.$

Vì $(S)$ đi qua hai điểm $A;B$ nên

$IA = IB \Leftrightarrow \sqrt{(1 - a)^{2} + 5} = \sqrt{(3 - a)^{2} + 13}$ $IA = IB \Leftrightarrow \sqrt{(1 - a)^{2} + 5} = \sqrt{(3 - a)^{2} + 13}$

$\Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow a = 4 \Rightarrow I(4;0;0)$ $\Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow a = 4 \Rightarrow I(4;0;0)$

$\Rightarrow R = IA = \sqrt{14}$ $\Rightarrow R = IA = \sqrt{14}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2 = 0$ $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2 = 0$.

Chọn đáp án A

Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu có tâm $I(1;1;1)$ và có diện tích bằng $4\pi$ $4\pi$ có phương trình là:

$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 4$ $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 4$
$(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 1$ $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 1$
$(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 4$ $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 4$
$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1$ $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1$

Hướng dẫn giải

Ta có: $S = 4\pi R^{2} = 4\pi \Rightarrow R = 1$ $S = 4\pi R^{2} = 4\pi \Rightarrow R = 1$

Vậy mặt cầu tâm $I(1;1;1)$ có bán kính $R = 1$ có phương trình $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1$ $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1$.

Chọn đáp án D

Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ qua bốn điểm $A(3;3;0),B(3;0;3),C(0;3;3),D(3;3;3)$. Phương trình mặt cầu $(S)$ là:

$\left( x - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} \right)^{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ $\left( x - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} \right)^{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$\left( x - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( y + \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} \right)^{2} = \frac{27}{4}$ $\left( x - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( y + \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} \right)^{2} = \frac{27}{4}$
$\left( x - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( z + \frac{3}{2} \right)^{2} = \frac{27}{4}$ $\left( x - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( z + \frac{3}{2} \right)^{2} = \frac{27}{4}$
$\left( x - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} \right)^{2} = \frac{27}{4}$ $\left( x - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} \right)^{2} = \frac{27}{4}$

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

Vì mặt cầu đi qua bốn điểm đã cho nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} 18 - 6a - 6b + d = 0 \\ 18 - 6a - 6c + d = 0 \\ 18 - 6b - 6c + d = 0 \\ 27 - 6a - 6b - 6c + d = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = \dfrac{3}{2} \\ b = \dfrac{3}{2} \\ c = \dfrac{3}{2} \\ d = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 18 - 6a - 6b + d = 0 \\ 18 - 6a - 6c + d = 0 \\ 18 - 6b - 6c + d = 0 \\ 27 - 6a - 6b - 6c + d = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = \dfrac{3}{2} \\ b = \dfrac{3}{2} \\ c = \dfrac{3}{2} \\ d = 0 \\ \end{matrix} \right.$.

Suy ra tâm mặt cầu $I\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right)$ $I\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $\left( x - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} \right)^{2} = \frac{27}{4}$ $\left( x - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} \right)^{2} = \frac{27}{4}$

Chọn đáp án D

Bài tập 5: Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có tọa độ đỉnh $A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6),D(2;4;6)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$. Viết phương trình mặt cầu $(S')$ có tâm trùng với tâm của mặt cầu $(S)$ và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu $(S)$?

$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 56$ $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 56$
$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z = 0$ $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z = 0$
$(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 14$ $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 14$
$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y + 6z - 12 = 0$ $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y + 6z - 12 = 0$

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

Vì $(S)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} 2^{2} + 0^{2} + 0^{2} - 2.a.2 - 2.b.0 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 4^{2} + 0^{2} - 2.a.0 - 2.b.4 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 0^{2} + 6^{2} - 2.a.0 - 2.b.0 - 2.c.6 + d = 0 \\ 2^{2} + 4^{2} + 6^{2} - 2.a.2 - 2.b.4 - 2.c.6 + d = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 2^{2} + 0^{2} + 0^{2} - 2.a.2 - 2.b.0 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 4^{2} + 0^{2} - 2.a.0 - 2.b.4 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 0^{2} + 6^{2} - 2.a.0 - 2.b.0 - 2.c.6 + d = 0 \\ 2^{2} + 4^{2} + 6^{2} - 2.a.2 - 2.b.4 - 2.c.6 + d = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4a + d = - 4 \\ - 8b + d = - 16 \\ - 12c + d = - 36 \\ - 4a - 8b - 12c + d = - 56 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ d = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4a + d = - 4 \\ - 8b + d = - 16 \\ - 12c + d = - 36 \\ - 4a - 8b - 12c + d = - 56 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ d = 0 \\ \end{matrix} \right.$.

Suy ra tâm mặt cầu $I(1;2;3)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{14}$ $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{14}$

Vậy phương trình mặt cầu $(S')$ có tâm trùng với tâm của mặt cầu $(S)$ và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu $(S)$là:

$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 56$ $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 56$

Chọn đáp án A

Bài tập 6: Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I( - 1;4;2)$ và có thể tích bằng $\frac{256\pi}{3}$ $\frac{256\pi}{3}$. Khi đó phương trình mặt cầu $(S)$ là:

$(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 16$ $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 16$
$(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 4$ $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 4$
$(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + (z + 2)^{2} = 4$ $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + (z + 2)^{2} = 4$
$(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + (z + 2)^{2} = 4$ $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + (z + 2)^{2} = 4$

Hướng dẫn giải

Thể tích mặt cầu là: $V = \frac{4\pi R^{3}}{3} = \frac{256\pi}{3} \Rightarrow R = 4$ $V = \frac{4\pi R^{3}}{3} = \frac{256\pi}{3} \Rightarrow R = 4$

Vậy phương trình mặt cầu tâm $I$ có bán kính $R = 4$ là:

$(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 16$ $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 16$

Chọn đáp án A

------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Toán 12 Công thức phương trình mặt cầu. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Tải về

Chọn file muốn tải về: