Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Phương trình mặt cầu

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn tham khảo tài liệu Phương trình mặt cầu Toán 12. Lý thuyết và bài tập mặt cầu do VnDoc giới thiệu tới bạn đọc được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia. Bộ tài liệu giúp bạn đọc củng cố định nghĩa, tính chất, công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

1. Công thức phương trình mặt cầu

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S, tâm I(a; b; c) bán kính R, khi đó ta có:

{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}(xa)2+(yb)2+(zc)2=R2

Hay

{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0x2+y2+z22ax2by2cz+d=0 (*)

2. Bán kính mặt cầu

TH1: Nhận biết tâm và bán kính mặt cầu từ phương trình mặt cầu

(*) có tâm I(a; b; c), bán kính R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}R=a2+b2+c2d

Điều kiện cần và đủ để (*) là mặt cầu là: {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0a2+b2+c2d>0

Ví dụ: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu:

a. {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25(x1)2+(y+2)2+(z3)2=25

b. {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 6z - 2 = 0x2+y2+z24x+2y+6z2=0

Hướng dẫn giải

a. Tâm mặt cầu là I(1; -2; 3) bán kính R = 5

b. Tâm mặt cầu I(a; b; c): \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {a = \dfrac{{ - 4}}{{ - 2}} = 2} \\ 
  {b = \dfrac{{ - 2}}{{ - 2}} = 1} \\ 
  {c = \dfrac{6}{{ - 2}} =  - 3} 
\end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {2;1; - 3} \right){a=42=2b=22=1c=62=3I(2;1;3)

Bán kính mặt cầu là: R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2} - \left( { - 2} \right)}  = 4R=a2+b2+c2d=22+12+32(2)=4

TH2: Mặt cầu tâm I(a; b; c) tiếp xúc với mặt phẳng đặc biệt:

+ Tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) thì R = c

+ Tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) thì R = b

+ Tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) thì R = a

TH3: Mặt cầu tâm I(a; b; c) tiếp xúc với các trục tọa độ

+ Tiếp xúc với trục Ox thì R = \sqrt {{b^2} + {c^2}}R=b2+c2

+ Tiếp xúc với trục Oy thì R = \sqrt {{a^2} + {c^2}}R=a2+c2

+ Tiếp xúc với trục Oz thì R = \sqrt {{a^2} + {b^2}}R=a2+b2

3. Công thức tính diện tích mặt cầu

Diện tích mặt cầu được tính bởi công thức sau:

S = 4\pi {R^2} = \pi .{d^2}S=4πR2=π.d2

4. Công thức tính thể tích khối cầu

Thể tích khối cầu được xác định bởi công thức sau:

V = \frac{4}{3}\pi {R^3}V=43πR3

5. Bài tập phương trình mặt cầu 

Bài tập 1: Trong không gian OxyzOxyz, cho các mặt cầu dưới đây. Hỏi mặt cầu nào có bán kính R = 2R=2?

  1. (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z
- 3 = 0(S):x2+y2+z24x+2y+2z3=0
  2. (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z
- 10 = 0(S):x2+y2+z24x+2y+2z10=0
  3. (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z
+ 2 = 0(S):x2+y2+z24x+2y+2z+2=0
  4. (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z
+ 5 = 0(S):x2+y2+z24x+2y+2z+5=0

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} +
z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0(S):x2+y2+z22ax2by2cz+d=0 có bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}R=a2+b2+c2d

Xét phương trình mặt cầu (S):x^{2} +
y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0(S):x2+y2+z24x+2y+2z+2=0 ta có:

\left\{ \begin{matrix}
a = 2;b = - 1 \\
c = - 1;d = 2 \\
\end{matrix} \right.\  \Rightarrow R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}
= \sqrt{4} = 2{a=2;b=1c=1;d=2 R=a2+b2+c2d=4=2

Chọn đáp án C

Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho điểm A(1;1;2),B(3;2; - 3)A(1;1;2),B(3;2;3). Mặt cầu (S)(S) có tâm I
\in OxIOx và đi qua hai điểm A;BA;B có phương trình là:

  1. (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2 =
0(S):x2+y2+z28x+2=0
  2. (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 8x + 2 =
0(S):x2+y2+z2+8x+2=0
  3. (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2 =
0(S):x2+y2+z24x+2=0
  4. (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x - 2 =
0(S):x2+y2+z28x2=0

Hướng dẫn giải

Ta có: I \in Ox \Rightarrow
I(a;0;0)IOxI(a;0;0)

\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{IA} = (1 - a;1;2) \\
\overrightarrow{IB} = (3 - a;2; - 3) \\
\end{matrix} \right.{IA=(1a;1;2)IB=(3a;2;3)

(S)(S) đi qua hai điểm A;BA;B nên

IA = IB \Leftrightarrow \sqrt{(1 -
a)^{2} + 5} = \sqrt{(3 - a)^{2} + 13}IA=IB(1a)2+5=(3a)2+13

\Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow
a = 4 \Rightarrow I(4;0;0)4a=16a=4I(4;0;0)

\Rightarrow R = IA =
\sqrt{14}R=IA=14

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2 =
0(S):x2+y2+z28x+2=0.

Chọn đáp án A

Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, mặt cầu có tâm I(1;1;1)I(1;1;1) và có diện tích bằng 4\pi4π có phương trình là:

  1. (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} =
4(x1)2+(y1)2+(z1)2=4
  2. (x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} =
1(x+1)2+(y+1)2+(z+1)2=1
  3. (x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} =
4(x+1)2+(y+1)2+(z+1)2=4
  4. (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} =
1(x1)2+(y1)2+(z1)2=1

Hướng dẫn giải

Ta có: S = 4\pi R^{2} = 4\pi \Rightarrow
R = 1S=4πR2=4πR=1

Vậy mặt cầu tâm I(1;1;1)I(1;1;1) có bán kính R = 1R=1 có phương trình (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} =
1(x1)2+(y1)2+(z1)2=1.

Chọn đáp án D

Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, mặt cầu (S)(S) qua bốn điểm A(3;3;0),B(3;0;3),C(0;3;3),D(3;3;3)A(3;3;0),B(3;0;3),C(0;3;3),D(3;3;3). Phương trình mặt cầu (S)(S) là:

  1. \left( x - \frac{3}{2} \right)^{2} +
\left( y - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} \right)^{2}
= \frac{3\sqrt{3}}{2}(x32)2+(y32)2+(z32)2=332
  2. \left( x - \frac{3}{2} \right)^{2} +
\left( y + \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} \right)^{2}
= \frac{27}{4}(x32)2+(y+32)2+(z32)2=274
  3. \left( x - \frac{3}{2} \right)^{2} +
\left( y - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( z + \frac{3}{2} \right)^{2}
= \frac{27}{4}(x32)2+(y32)2+(z+32)2=274
  4. \left( x - \frac{3}{2} \right)^{2} +
\left( y - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} \right)^{2}
= \frac{27}{4}(x32)2+(y32)2+(z32)2=274

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình mặt cầu (S):x^{2} +
y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0(S):x2+y2+z22ax2by2cz+d=0a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0a2+b2+c2d>0

Vì mặt cầu đi qua bốn điểm đã cho nên ta có hệ phương trình

\left\{ \begin{matrix}
18 - 6a - 6b + d = 0 \\
18 - 6a - 6c + d = 0 \\
18 - 6b - 6c + d = 0 \\
27 - 6a - 6b - 6c + d = 0 \\
\end{matrix} \right.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = \dfrac{3}{2} \\
b = \dfrac{3}{2} \\
c = \dfrac{3}{2} \\
d = 0 \\
\end{matrix} \right.{186a6b+d=0186a6c+d=0186b6c+d=0276a6b6c+d=0 {a=32b=32c=32d=0.

Suy ra tâm mặt cầu I\left(
\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right)I(32;32;32) và bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} =
\frac{3\sqrt{3}}{2}R=a2+b2+c2d=332

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \left( x - \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( y -
\frac{3}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} \right)^{2} =
\frac{27}{4}(x32)2+(y32)2+(z32)2=274

Chọn đáp án D

Bài tập 5: Trong không gian OxyzOxyz, cho tứ diện ABCDABCD có tọa độ đỉnh A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6),D(2;4;6)A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6),D(2;4;6). Gọi (S)(S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDABCD. Viết phương trình mặt cầu (S(S) có tâm trùng với tâm của mặt cầu (S)(S) và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu (S)(S)?

  1. (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2}
= 56(x1)2+(y2)2+(z3)2=56
  2. x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z =
0x2+y2+z22x4y6z=0
  3. (x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 3)^{2} =
14(x+1)2+(y+2)2+(z+3)2=14
  4. x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y + 6z - 12
= 0x2+y2+z22x+4y+6z12=0

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình mặt cầu (S):x^{2} +
y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0(S):x2+y2+z22ax2by2cz+d=0a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0a2+b2+c2d>0

(S)(S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDABCD nên ta có hệ phương trình

\left\{ \begin{matrix}
2^{2} + 0^{2} + 0^{2} - 2.a.2 - 2.b.0 - 2.c.0 + d = 0 \\
0^{2} + 4^{2} + 0^{2} - 2.a.0 - 2.b.4 - 2.c.0 + d = 0 \\
0^{2} + 0^{2} + 6^{2} - 2.a.0 - 2.b.0 - 2.c.6 + d = 0 \\
2^{2} + 4^{2} + 6^{2} - 2.a.2 - 2.b.4 - 2.c.6 + d = 0 \\
\end{matrix} \right.{22+02+022.a.22.b.02.c.0+d=002+42+022.a.02.b.42.c.0+d=002+02+622.a.02.b.02.c.6+d=022+42+622.a.22.b.42.c.6+d=0

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- 4a + d = - 4 \\
- 8b + d = - 16 \\
- 12c + d = - 36 \\
- 4a - 8b - 12c + d = - 56 \\
\end{matrix} \right.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = 2 \\
c = 3 \\
d = 0 \\
\end{matrix} \right.{4a+d=48b+d=1612c+d=364a8b12c+d=56 {a=1b=2c=3d=0.

Suy ra tâm mặt cầu I(1;2;3)I(1;2;3) và bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} -
d} = \sqrt{14}R=a2+b2+c2d=14

Vậy phương trình mặt cầu (S(S) có tâm trùng với tâm của mặt cầu (S)(S) và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu (S)(S)là:

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2}
= 56(x1)2+(y2)2+(z3)2=56

Chọn đáp án A

Bài tập 6: Trong hệ tọa độ OxyzOxyz, cho mặt cầu (S)(S) có tâm I( - 1;4;2)I(1;4;2) và có thể tích bằng \frac{256\pi}{3}256π3. Khi đó phương trình mặt cầu (S)(S) là:

  1. (x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2}
= 16(x+1)2+(y4)2+(z2)2=16
  2. (x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} =
4(x+1)2+(y4)2+(z2)2=4
  3. (x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + (z + 2)^{2} =
4(x1)2+(y+4)2+(z+2)2=4
  4. (x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + (z + 2)^{2} =
4(x1)2+(y+4)2+(z+2)2=4

Hướng dẫn giải

Thể tích mặt cầu là: V = \frac{4\pi
R^{3}}{3} = \frac{256\pi}{3} \Rightarrow R = 4V=4πR33=256π3R=4

Vậy phương trình mặt cầu tâm II có bán kính R = 4R=4 là:

(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} =
16(x+1)2+(y4)2+(z2)2=16

Chọn đáp án A

------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Toán 12 Công thức phương trình mặt cầu. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
Chọn file muốn tải về:
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Thi THPT Quốc gia môn Toán

Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng