Phương trình mặt cầu

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S

Công thức phương trình mặt cầu Toán 12

1. Công thức phương trình mặt cầu
2. Bán kính mặt cầu
3. Công thức tính diện tích mặt cầu
4. Công thức tính thể tích khối cầu

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn tham khảo tài liệu Phương trình mặt cầu Toán 12. Lý thuyết và bài tập mặt cầu do VnDoc giới thiệu tới bạn đọc được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia. Bộ tài liệu giúp bạn đọc củng cố định nghĩa, tính chất, công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 12, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 12 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 12. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

1. Công thức phương trình mặt cầu

- Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S, tâm I(a; b; c) bán kính R, khi đó ta có:

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$ ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$

Hay ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ (*)

2. Bán kính mặt cầu

TH1: Nhận biết tâm và bán kính mặt cầu từ phương trình mặt cầu

(*) có tâm I(a; b; c), bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$ $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$

Điều kiện cần và đủ để (*) là mặt cầu là: ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$ ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$

Ví dụ: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu:

a. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25$ ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25$

b. ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 6z - 2 = 0$ ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 6z - 2 = 0$

Hướng dẫn giải

a. Tâm mặt cầu là I(1; -2; 3) bán kính R = 5

b. Tâm mặt cầu I(a; b; c): $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{{ - 4}}{{ - 2}} = 2} \\ {b = \dfrac{{ - 2}}{{ - 2}} = 1} \\ {c = \dfrac{6}{{ - 2}} = - 3} \end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {2;1; - 3} \right)$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{{ - 4}}{{ - 2}} = 2} \\ {b = \dfrac{{ - 2}}{{ - 2}} = 1} \\ {c = \dfrac{6}{{ - 2}} = - 3} \end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {2;1; - 3} \right)$

Bán kính mặt cầu là: $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2} - \left( { - 2} \right)} = 4$ $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2} - \left( { - 2} \right)} = 4$

TH2: Mặt cầu tâm I(a; b; c) tiếp xúc với mặt phẳng đặc biệt:

+ Tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) thì R = c

+ Tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) thì R = b

+ Tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) thì R = a

TH3: Mặt cầu tâm I(a; b; c) tiếp xúc với các trục tọa độ

+ Tiếp xúc với trục Ox thì $R = \sqrt {{b^2} + {c^2}}$ $R = \sqrt {{b^2} + {c^2}}$

+ Tiếp xúc với trục Oy thì $R = \sqrt {{a^2} + {c^2}}$ $R = \sqrt {{a^2} + {c^2}}$

+ Tiếp xúc với trục Oz thì $R = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$ $R = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$

3. Công thức tính diện tích mặt cầu

$S = 4\pi {R^2} = \pi .{d^2}$ $S = 4\pi {R^2} = \pi .{d^2}$

4. Công thức tính thể tích khối cầu

$V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$ $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$

------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Toán 12 Công thức phương trình mặt cầu. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Tham khảo thêm

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

1.105

Chia sẻ bởi:
Nguyễn Thị Huê
Nhóm:
VnDoc.com
Ngày: 17/06/2021

Tải về

Chọn file muốn tải về: