Cấp số cộng

VnDoc.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Cấp số cộng môn Toán lớp 11. Tài liệu được VnDoc biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức môn Toán hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo và tải về miễn phí tại đây!

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Cấp số cộng

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Tổng hợp lí thuyết

1.Cấp số cộng là gì?

Định nghĩa: Dãy số \left( {{U}_{n}} \right) được xác định bởi: \left( {{U}_{n}} \right)=\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=a \\ {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+d \\ \end{matrix}\left( n\in \mathbb{N}* \right) \right..$thì dãy số này được gọi là cấp số cộng. d là công sai.

2.Số hạng tổng quát

Cấp số cộng bắt đầu là phần tử {{u}_{1}} và công sai là d thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức: {{u}_{n+1}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d

\Rightarrow d=\frac{{{u}_{n+1}}-{{u}_{1}}}{n-1}

3.Tính chất

Ba số hạng {{u}_{n-1}},{{u}_{n}},{{u}_{n+1}} là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi {{u}_{n}}=\frac{{{u}_{n-1}}+{{u}_{n+1}}}{2}

4. Tổng của một cấp số cộng

Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng được gọi là tổng riêng thứ n xác định bởi công thức:

S={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}=\frac{n\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)}{2}=\frac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2}

Chứng minh:

S_n=u_1+u_1+d+u_1+2d+...+u_1+\left(n-1\right)d\ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)

Mặt khác:

S_n=u_n-\left(n-1\right)d+u_n-\left(n-2\right)d+...+u_n-d+u_{n\ \ \ \ \ \ \ }(2)

Lấy (1) cộng (2) \Rightarrow2S_n=n\left(u_1+u_n\right)\Rightarrow S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}

\Rightarrow S_n=\frac{n\left(u_1+u_1+\left(n-1\right)d\right)}{2}=\frac{n\left(2u_1+\left(n-1\right)d\right)}{2}

5.Chú ý

a. Dãy số \left( {{U}_{n}} \right) là một cấp số cộng, công sai d \Leftrightarrow {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=d không phụ thuộc vào n

b. Ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng \Leftrightarrow b=\frac{a+c}{2}

c. Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết bài toán qua {{u}_{1}},d

II. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Dãy số \left( {{U}_{n}} \right) có phải cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai?

a. {{u}_{n}}=2n+3

b. {{u}_{n}}=\frac{2}{n}

c. {{u}_{n}}=\frac{n+1}{n}

Hướng dẫn giải

a.Ta có: {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=2\left( n+1 \right)+3-\left( 2n+3 \right)=2=d là hằng số. Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d = 2

b. Ta có: {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n}=\frac{2}{n\left( n+1 \right)}\ne const, phụ thuộc vào n. Vậy dãy số đã cho không phải là cấp số cộng.

c. Ta có: {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{n+1+1}{n+1}-\frac{n+1}{n}=\frac{1}{n\left( n+1 \right)} phụ thuộc vào n nên dãy số đã cho không là cấp số cộng.

Ví dụ 2: Tam giác ABC có 3 góc \widehat{A},\widehat{B},\widehat{C} theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và \widehat{C}=5\widehat{A}. Xác định các góc tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Từ giải thiết bài toán đã cho ta có :

\left\{ \begin{matrix} \begin{align} & \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C=180} \\ & \widehat{A}+\widehat{C}=2\widehat{B} \\ \end{align} \\ \widehat{C}=5\widehat{A} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \widehat{A}={{20}^{0}} \\ \widehat{B}={{60}^{0}} \\ \widehat{C}={{100}^{0}} \\ \end{matrix} \right.

Ví dụ 3: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng -9 và tổng bình phương của chúng bằng 29

Hướng dẫn giải

Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng là a,b,c.

Theo giả thiết đề bài ta có hệ phương trình:

\left\{ \begin{matrix} a+c=2b \\ a+b+c=-9 \\ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=29 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b=-3 \\ \left[ \begin{matrix} a=2\Rightarrow c=-8 \\ a=-4\Rightarrow c=-10 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \right.

Ví dụ 4: Cho cấp số cộng \left( {{U}_{n}} \right) thỏa mãn: \left\{ \begin{matrix} {{u}_{5}}+3{{u}_{3}}-{{u}_{2}}=-21 \\ 3{{u}_{7}}-2{{u}_{4}}=-34 \\ \end{matrix} \right.

a. Tính số hạng thứ 100 của cấp số

b.Tính tổng của 15 số hạng đầu của cấp số công.

c. Tính S={{u}_{4}}+{{u}_{5}}+...+{{u}_{30}}

Hướng dẫn giải

Từ giải thiết đề bài ta có:

\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+4d+3({{u}_{1}}+2d)-\left( {{u}_{1}}+d \right)=-21 \\ 3({{u}_{1}}+6d)-2({{u}_{1}}+3d)=-34 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=2 \\ d=-3 \\ \end{matrix} \right.

a. Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là: {{u}_{100}}={{u}_{1}}+99d=-295

b.Tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng:

\Rightarrow {{S}_{15}}=\frac{15\left( 2{{u}_{1}}+\left( 15-1 \right)d \right)}{2}=-285

c. \Rightarrow S={{u}_{4}}+{{u}_{5}}+...+{{u}_{30}}=\frac{27\left( 2{{u}_{4}}+26d \right)}{2}=-1242

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Cấp số cộng môn Toán lớp 11. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Sinh học lớp 11, Vật lý lớp 11, Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Đánh giá bài viết
1 18
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Toán lớp 11 Xem thêm