Toán 12 Kết nối tri thức bài 11: Nguyên hàm

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Toán 12 Kết nối tri thức bài 11: Nguyên hàm để bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết với hướng dẫn giải bài tập SGK Toán 12 Kết nối tri thức tập 2 các trang 4, 5, 6, ..., 10, 11.

Giải Toán 12 trang 4

Mở đầu trang 4 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi v(t) = 5 + 3t (m/s), với t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển kể từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?

Hoạt động 1 trang 4 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Cho hai hàm số f(x) = x² + 1 và F(x) = \(\frac{1}{3}\)x³ + x, với x ∈ ℝ.

a) Tính đạo hàm của hàm số F(x).

b) F'(x) và f(x) có bằng nhau không?

Xem lời giải Toán 12 trang 4

Giải Toán 12 trang 5

Luyện tập 1 trang 5 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x + \(\frac{1}{x}\) trên khoảng (0; +∞).

\(a) F(x) = \frac{1}{2} x^{2} + lnx\)

\(b) G(x) = \frac{x^{2} }{2} -lnx\)

Hoạt động 2 trang 4 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

a) Chứng minh rằng hàm số F(x) = \(\frac{x^{4} }{4}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ trên ℝ.

b) Hàm số G(x) = \(\frac{x^{4} }{4}\) + C (với C là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ không? Vì sao?

Xem lời giải Toán 12 trang 5

Giải Toán 12 trang 6

Luyện tập 2 trang 6 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Tìm ∫x³dx

Hoạt động 3 trang 6 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là một hằng số khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K.

a) Chứng minh kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.

b) Nêu nhận xét về ∫ kf (x) dx và k ∫ f(x)dx.

Xem lời giải Toán 12 trang 6

Giải Toán 12 trang 7

Luyện tập 3 trang 7 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Cho hàm số f(x) = xⁿ (n ∈ ℕ*).

a) Chứng minh rằng hàm số \(F(x) = \frac{x^{n+1} }{n+1}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Từ đó tìm \(\int x^{n} dx\)

b) Từ kết quả câu a, tìm \(\int kx^{n} dx\) (k là hằng số thực khác 0).

Hoạt động 4 trang 7 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K.

a) Chứng minh F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) Nêu nhận xét về \(\int \left [ f(x) + g(x) \right ] dx\) và \(\int f(x)dx + \int g(x)dx\)

Luyện tập 4 trang 7 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Tìm

\(a) \int (3x^{2} + 1)dx;\)

\(b) \int (2x-1)^{2} dx\)

Xem lời giải Toán 12 trang 7

Giải Toán 12 trang 8

Vận dụng trang 8 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩn là số tiền R(x) (triệu đồng) thu được khi x đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi x đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số MR(x) = R'(x). Một công ty công nghệ cho biết, tốc độ biến đổi của doanh thu khi bán một loại con chíp của hãng được cho bởi MR(x) = 300 – 0,1x, ở đó x là số lượng chíp đã bán. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán 1000 con chíp.

Câu hỏi trang 8 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Bằng cách viết lại các hàm số sau dưới dạng hàm số lũy thừa y = x^α (x > 0), hãy tính đạo hàm của các hàm số sau với x > 0: \(y = \frac{1}{x^{4} } ; y = x^{\sqrt{2} } ;y = \frac{1}{\sqrt[3]{x} }\)

Hoạt động 5 trang 8 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

a) Với α ≠ −1, tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{x^{\alpha +1} }{\alpha +1}\) (x > 0)

b) Cho hàm số y = ln|x| (x ≠ 0). Tính đạo hàm của hàm số này trong hai trường hợp: x > 0 và x < 0.

Xem lời giải Toán 12 trang 8

Giải Toán 12 trang 9

Luyện tập 5 trang 9 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Tìm:

\(a) \int \frac{1}{x^{4} } dx;\)

\(b) \int x\sqrt{x} dx (x > 0)\)

\(c) \int \left ( \frac{3}{5} -5\sqrt[3]{x} \right ) dx (x > 0)\)

Hoạt động 6 trang 9 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

a) Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng dưới đây.

b) Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số cho trong bảng dưới đây.

Luyện tập 6 trang 9 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Tìm:

a) ∫(3cosx − 4sinx)dx; 

\(b) \int \left ( \frac{1}{cos^{2}x } -\frac{1}{sin^{2}x } \right ) dx\)

Xem lời giải Toán 12 trang 9

Giải Toán 12 trang 10

Hoạt động 7 trang 10 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

a) Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng dưới đây.

b) Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số cho trong bảng dưới đây.

Luyện tập 7 trang 10 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Tìm:

a) ∫4^xdx;

\(b) \int \frac{1}{e^{x} } dx;\)

\(c) \int \left ( 2.3^{x} -\frac{1}{3}.7^{x} \right ) dx\)

Xem lời giải Toán 12 trang 10

Giải Toán 12 trang 11

Bài 4.1 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao?

a) F(x) = xlnx và f(x) = 1 + lnx trên khoảng (0; +∞);

b) F(x) = e^sinx và f(x) = e^cosx trên ℝ.

Bài 4.2 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = 3x² + 2x – 1;

b) f(x) = x³ – x;

c) f(x) = (2x + 1)²;

d) \(f(x) = (2x - \frac{1}{2} )^{2}\)

Bài 4.3 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Tìm:

\(a) \int \left ( 3\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x} } \right ) dx;\)

\(b) \int \sqrt{x} (7x^{2} -3)dx (x > 0)\)

\(c) \int \frac{\left ( 2x+1 \right )^{2} }{x^{2} } dx;\)

d) \(\int \left ( 2^{x} + \frac{3}{x^{2} } \right ) dx\)

Bài 4.4 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Tìm:

\(a) \int \left ( 2cosx - \frac{3}{sin^{2}x } \right ) dx;\)

\(b) \int 4sin^{2} \frac{x}{2} dx;\)

\(c) \int \left ( sin\frac{x}{2}- cos\frac{x}{2} \right ) ^{2} dx;\)

\(d) \int \left ( x + tan^{2}x \right ) dx;\)

Bài 4.5 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (0; +∞). Biết rằng, f′(x) = 2x + \(\frac{1}{x^{2} }\) với mọi x ∈ (0; +∞) và f(1) = 1. Tính giá trị f(4).

Bài 4.6 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

ho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Xét điểm M(x; f(x)) thay đổi trên (C). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là k_M = (x – 1)² và điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức f(x).

Bài 4.7 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi v(t) = 160 – 9,8t (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau t = 5 giây;

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Xem lời giải Toán 12 trang 11