Giải SGK Toán 12 trang 28 tập 2 Kết nối tri thức
Giải SGK Toán 12 trang 28 tập 2 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 4
Giải SGK Toán 12 trang 28 tập 2 Kết nối tri thức tổng hợp lời giải chi tiết Bài tập cuối chương 4, giúp học sinh ôn tập toàn diện kiến thức về Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng hình học của tích phân. Nội dung bám sát SGK, trình bày khoa học, hỗ trợ học tốt Toán 12 và nâng cao kỹ năng giải bài tập.
Giải bài 4.26 trang 28 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Cho hình phẳng (S) giới hạn bởi đồ thị hàm số 
\(y = \sqrt {1 - {x^2}}\), trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 1. Thể tích của khối tròn xoay khi quay (S) quanh trục Ox là:
A. \(\frac{{3\pi }}{4}\) B. \(\frac{{3\pi }}{2}\) C. \(\frac{{2\pi }}{3}\) D. \(\frac{{4\pi }}{3}\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Thể tích cần tìm là:
\(V = \pi \int_{ - 1}^1 {\left( {1 - {x^2}} \right)dx} = \left. {\pi \left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 1}^1\)\(= \pi \left( {1 - \frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{4\pi }}{3}\)
Giải bài 4.27 trang 28 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Một vật chuyển động có gia tốc là a(t) = 3t2 + t (m/s2). Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là 2 m/s. Vận tốc của vật đó sau 2 giây là
A. 8 m/s. B. 10 m/s. C. 12 m/s. D. 16 m/s.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( {3{t^2} + t} \right)dt} = {t^3} + \frac{{{t^2}}}{2} + C\)
Vì v(0) = 2 nên C = 2.
Do đó \(v\left( t \right) = {t^3} + \frac{{{t^2}}}{2} + 2\)
Vậy \(v\left( 2 \right) = {2^3} + \frac{{{2^2}}}{2} + 2 = 12\left( {m/s} \right)\)
Giải bài 4.28 trang 28 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {2^x} - \frac{1}{x}\) b) \(y = x\sqrt x + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}\)
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(\int {\left( {{2^x} - \frac{1}{x}} \right)dx}\)\(= \int {{2^x}dx} - \int {\frac{1}{x}dx}\)\(= \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \ln \left| x \right| + C\)
b) Ta có:
\(\int {\left( {x\sqrt x + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}\)\(= \int {\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}\)
\(= \int {{x^{\frac{3}{2}}}dx} + 3\int {\cos xdx} - 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}\)
\(= \frac{2}{5}.{x^{\frac{5}{2}}} + 3\sin x + 2\cot x + C\)
Giải bài 4.29 trang 28 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = 2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thỏa mãn điều kiện \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1\).
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}\)\(= \int {\left( {2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}\)
\(= 2\int {\cos xdx} + \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}\)\(= 2\sin x - \cot x + C\)
Vì \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1\) nên \(2\sin \frac{\pi }{4} - \cot \frac{\pi }{4} + C = - 1 \Leftrightarrow C = - \sqrt 2\)
Vậy \(F\left( x \right) = 2\sin x - \cot x - \sqrt 2\)
Giải bài 4.30 trang 28 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 30 m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8 m/s2. Tìm vận tốc của viên đạn ở thời điểm 2 giây.
Hướng dẫn giải:
Chọn chiều dương là chiều hướng từ mặt đất lên.
Ta có a = −9,8 m/s2. Do đó v(t) = −9,8t + C.
Vì v(0) = 30 nên C = 30. Do đó v(t) = −9,8t + 30.
Vận tốc của viên đạn ở thời điểm 2 giây là: v(2) = −9,8.2 + 30 = 10,4 m/s.
Giải bài 4.31 trang 28 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản thường bơi từ biển ngược dòng vào sông và đến thượng nguồn các dòng sông để đẻ trứng. Giả sử cá bơi ngược dòng sông với vận tốc là \(v\left( t \right) = - \frac{{2t}}{5} + 4\) (km/h). Nếu coi thời điểm ban đầu t = 0 là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông thì khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt}\)\(= \int {\left( { - \frac{{2t}}{5} + 4} \right) = - \frac{{{t^5}}}{5} + 4t + C}\)
Vì thời điểm ban đầu t = 0 là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông nên s(0) = 0, suy ra C = 0.
Do đó \(s\left( t \right) = - \frac{{{t^5}}}{5} + 4t\)
Ta có:
\(s\left( t \right) = - \frac{1}{5}\left( {{t^2} - 20t} \right)\)
\(= - \frac{1}{5}\left( {{t^2} - 20t + 100} \right) + 20\)
\(= - \frac{1}{5}{\left( {t - 10} \right)^2} + 20 \ge 20\) ,∀t≥0
Vậy khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi là 20 km.
Giải bài 4.32 trang 28 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Tính các tích phân sau:
a) \(\int_1^4 {\left( {{x^3} - 2\sqrt x } \right)dx}\) b) \(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - \sin x} \right)dx}\)
c) \(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}}\) d) \(\int_1^{16} {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}dx}\)
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(\int_1^4 {\left( {{x^3} - 2\sqrt x } \right)dx} = \int_1^4 {{x^3}dx} - 2\int_1^4 {\sqrt x dx}\)
\(= \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^4 = \frac{{160}}{3} + \frac{{13}}{{12}} = \frac{{653}}{{12}}\)
b) Ta có:
\(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - \sin x} \right)dx}\)\(= \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} - \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx}\)
\(= \left. {\left( {\sin x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1 - 1 = 0\)
c) Ta có:
\(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} = \left. {\left( { - \cot x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = - 1 + \sqrt 3\)
d) Ta có:
\(\int_1^{16} {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}dx} = \int_1^{16} {\sqrt x dx} - \int_1^{16} {\frac{1}{{\sqrt x }}dx}\)
\(= \int_1^{16} {{x^{\frac{1}{2}}}dx} - \int_1^{16} {{x^{ - \frac{1}{2}}}dx}\)
\(= \left. {\left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - 2.{x^{\frac{1}{2}}}} \right)} \right|_1^{16} = \frac{{104}}{3} + \frac{4}{3} = 36\)
Giải bài 4.33 trang 28 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ex, y = x, x = 0 và x = 1.
Hướng dẫn giải:
Diện tích cần tính là:
\(S = \int_0^1 {\left| {{e^x} - x} \right|dx} = \int_0^1 {\left( {{e^x} - x} \right)dx}\)
\(= \int_0^1 {{e^x}dx} - \int_0^1 {xdx} = \left. {\left( {{e^x} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1\)
\(= e - \frac{1}{2} - 1 = e - \frac{3}{2}\)
Giải bài 4.34 trang 28 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox:
a) y = 1 – x2, y = 0, x = −1, x = 1;
b) \(y = \sqrt {25 - {x^2}} ;y = 0;x = 2;x = 4\)
Hướng dẫn giải:
a) Thể tích cần tìm là:
\(V = \pi \int_{ - 1}^1 {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}dx}\)\(= \pi \int_{ - 1}^1 {\left( {1 - 2{x^2} + {x^4}} \right)dx}\)
\(= \left. {\pi \left( {x - \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_{ - 1}^1\)\(= \pi \left( {\frac{8}{{15}} + \frac{8}{{15}}} \right) = \frac{{16\pi }}{{15}}\)
b) Thể tích cần tìm là:
\(V = \pi \int_2^4 {\left( {25 - {x^2}} \right)dx}\)\(= \left. {\pi \left( {25x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_2^4\)\(= \pi \left( {\frac{{236}}{3} - \frac{{142}}{3}} \right) = \frac{{94\pi }}{3}\)
Giải bài 4.35 trang 28 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5\); (0≤x≤30) (x, y tính theo cm) quay tròn quanh bệ gốm có trục trùng với trục Ox. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu cm3 đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1 cm.
Hướng dẫn giải:
Thể tích đất sét cần sử dụng là:
\(V = \pi \int_0^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx}\)\(- \pi \int_0^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx}\)
\(= \pi \int_0^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx}\)\(+ \pi \int_0^{30} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx}\)\(+ \pi \int_{30}^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx}\)
\(= \pi \int_{30}^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx}\)
\(= \pi \int_{30}^{31} {\left( {\frac{1}{{175}}{x^4} + \frac{9}{{1225}}{x^2} + 25 + \frac{6}{{6125}}{x^3} + \frac{2}{{35}}{x^2} + \frac{6}{7}x} \right)dx}\)
\(= \pi \int_{30}^{31} {\left( {\frac{1}{{175}}{x^4} + \frac{6}{{6125}}{x^3} + \frac{{79}}{{1225}}{x^2} + \frac{6}{7}x + 25} \right)dx}\)
\(= \pi \left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{{153125}} + \frac{{3{x^4}}}{{12250}} + \frac{{79{x^2}}}{{3675}} + \frac{{3{x^2}}}{7} + 25x} \right)} \right|_{30}^{31}\)
\(\approx \pi \left( {2240,4 - 2073,2} \right) = 167,2\pi\)
Vậy để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng 167,2π cm3 đất sét.
---------------------------------------------------
Giải SGK Toán 12 trang 28 tập 2 Kết nối tri thức là tài liệu ôn tập hữu ích giúp học sinh hoàn thành Bài tập cuối chương 4 một cách chính xác và hiệu quả. Thường xuyên luyện tập cùng hệ thống Giải SGK Toán 12 KNTT sẽ giúp các em củng cố kiến thức, phát triển tư duy và tự tin đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra cũng như kỳ thi tốt nghiệp THPT.
