Giải SGK Toán 12 trang 13 tập 2 Kết nối tri thức
Giải SGK Toán 12 trang 13 tập 2 Kết nối tri thức Bài 12
Giải SGK Toán 12 trang 13 tập 2 Kết nối tri thức cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong Bài 12: Tích phân. Nội dung bám sát chương trình SGK mới, hướng dẫn phương pháp giải rõ ràng, giúp học sinh hiểu sâu kiến thức và học tốt Toán 12.
Giải hoạt động 1 trang 13 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≤ t ≤ 4) (H.4.4)
a) Tính diện tích S của T khi t = 4.
b) Tính diện tích S(t) của T khi t ∈ [1; 4].
c) Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) = t + 1, t ∈ [1; 4] và diện tích S = S(4) – S(1).
Hướng dẫn giải
a)
Kí hiệu A(1; 0), B(4; 0) và C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 4; x = 1 với đường thẳng y = x + 1.
Khi đó C(4; 5), D(1; 2).
Ta có: AD = 2; BC = 5; AB = 3.
Khi đó diện tích hình thang T là:
\(S = \frac{{\left( {AD + BC} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {2 + 5} \right).3}}{2} = \frac{{21}}{2}\)
b)
Gọi A(1; 0), B(t; 0), t ∈ [1; 4] và C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = t; x = 1 với đường thẳng y = x + 1.
Khi đó C(t; t + 1); D(1; 2).
Do đó AB = t – 1; AD = 2; BC = t + 1.
Khi đó diện tích hình thang ABCD là:
\(S = \frac{{\left( {AD + BC} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {t + 3} \right)\left( {t - 1} \right)}}{2} = \frac{{{t^2} + 2t - 3}}{2}\)
c) Ta có:
\(S\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 2t - 3}}{2}\)\(\Rightarrow S'\left( t \right) = \left( {\frac{{{t^2} + 2t - 3}}{2}} \right)'\)\(= \frac{{2\left( {t + 1} \right)}}{2} = t + 1 = f\left( t \right)\)
Do đó S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) = t + 1, t ∈ [1; 4].
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
S\left( 4 \right) = \frac{{{4^2} + 2.4 - 3}}{2} = \frac{{21}}{2}\\
S\left( 1 \right) = \frac{{{1^2} + 1.4 - 3}}{2} = 0
\end{array} \right.\)
Do đó S(4) – S(1) = S.
Giải hoạt động 2 trang 13 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Ta muốn tính diện tích S của hình thang cong này.
a) Với mỗi x ∈ [1; 2], gọi S(x) là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 1 và x (H.4.5).
Cho h > 0 sao cho x + h < 2. So sánh hiệu S(x + h) – S(x) với diện tích hai hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H.4.6). Từ đó suy ra \(0 \le \frac{{S(x + h) - S(x)}}{h} - {x^2} \le 2xh + {h^2}\)
b) Cho h < 0 sao cho x + h > 1. Tương tự phần a, đánh giá hiệu S(x) – S(x + h) và từ đó suy ra \(2xh + {h^2} \le \frac{{S(x) - S(x + h)}}{h} - {x^2} \le 0\)
c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi h ≠ 0, ta có:
\(\left| {\frac{{S(x + h) - S(x)}}{h} - {x^2}} \right| \le 2x\left| h \right| + {h^2}\)
Từ đó chứng minh S'(x) = x2, x ∈ (1; 2).
Người ta chứng minh được S'(1) = 1, S'(2) = 4, tức là S(x) là một nguyên hàm của x2 trên [1; 2].
d) Từ kết quả của phần c, ta có \(S\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + C\). Sử dụng điều này với lưu ý S(1) = 0 và diện tích cần tính S = S(2), hãy tính S.
Gọi F(x) là một nguyên hàm tùy ý của f(x) = x2 trên [1; 2]. Hãy so sánh S và F(2) – F(1).
Hướng dẫn giải:
a) Với h > 0, x + h < 2, kí hiệu SMNPQvà SMNEFlần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF, ta có: SMNPQ ≤ S(x + h) – S(x) ≤ SMNEF
hay hx2 ≤ S(x + h) – S(x) ≤ h(x + h)2.
Suy ra \(0 \le \frac{{S(x + h) - S(x)}}{h} - {x^2} \le 2xh + {h^2}\)
b) Với h < 0 và x + h > 1, kí hiệu SMNPQvà SMNEFlần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF, ta có SMNPQ ≤ S(x + h) – S(x) ≤ SMNEF
hay h(x+h)2 ≤ S(x + h) – S(x) ≤ hx2.
Suy ra \(2xh + {h^2} \le \frac{{S(x) - S(x + h)}}{h} - {x^2} \le 0\)
c) Dựa vào kết quả của câu a, b ta suy ra với mọi h ≠ 0, ta có:
\(\left| {\frac{{S(x + h) - S(x)}}{h} - {x^2}} \right| \le 2x\left| h \right| + {h^2}\)
Suy ra \(S'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{S(x + h) - S(x)}}{h} = {x^2};\forall x \in \left( {1;2} \right)\)
d) Vì \(S\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow \frac{{{1^2}}}{3} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{3}\)
Vậy \(S\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{3}\)
Ta có: \(S = S\left( 2 \right) = \frac{{{2^3}}}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\)
Giả sử \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3}\) là một nguyên hàm của f(x) = x2 trên [1; 2].
Khi đó: \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{3};F\left( x \right) = \frac{8}{3}\). Ta thấy \(F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right) = \frac{7}{3} = S\).
--------------------------------------
Giải SGK Toán 12 trang 13 tập 2 Kết nối tri thức là tài liệu hữu ích giúp học sinh nắm vững Bài 12: Tích phân và thành thạo các dạng bài tập thường gặp. Đừng quên khám phá thêm hệ thống Giải SGK Toán 12 KNTT để củng cố kiến thức, nâng cao kỹ năng giải toán và đạt kết quả cao trong các kỳ kiểm tra, thi tốt nghiệp THPT.
