Giải SGK Toán 12 trang 77 tập 2 Kết nối tri thức

Giải SGK Toán 12 trang 77 tập 2 Kết nối tri thức Bài 19

Giải SGK Toán 12 trang 77 tập 2 Kết nối tri thức cung cấp lời giải đầy đủ cho Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Nội dung được trình bày mạch lạc, bám sát SGK, giúp học sinh hiểu rõ cách áp dụng các công thức xác suất và nâng cao hiệu quả học tốt Toán 12.

Giải luyện tập 5 trang 77 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Vì thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo X là 0,2% nên trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là \(p = 0,2\% = 0,002\).

b) Gọi A là biến cố: “Ông M mắc bệnh hiểm nghèo X”; B là biến cố: “Xét nghiệm cho kết quả dương tính”.

Khi đó xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính chính là xác suất \(P(A | B)\).

Áp dụng công thức ta có:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}\)

Theo câu a) ta có: P(A) = p = 0,002.

Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1-0,002 = 0,998\)

P(B | A) là xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính nếu ông M mắc bệnh hiểm nghèo X. Theo bài ra ta có \(P(B | A) = 0,95\).

\(P\left( {B|\overline A } \right)\) là xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính nếu ông M không mắc bệnh hiểm nghèo X. Theo bài ra ta có \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,01\)

Khi đó, thay vào công thức Bayes ta được:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}\)

\(= \frac{{0,002.0,95}}{{0,002.0,95 + 0,998.0,01}} \approx 0,16\)

Vậy sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là khoảng 0,16.

Giải bài 6.7 trang 77 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

Gọi A là biến cố: “Máy bay xuất hiện ở vị trí X”;

B là biến cố: “Máy bay bị bắn rơi”.

Theo bài ra ta có \(P(A) = 0,5\)5. Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1-0,55 = 0,45\)

Nếu máy bay xuất hiện tại X thì có hai quả tên lửa bắn lên.

Khi đó, \(P(B | A)\) là xác suất để máy bay bị bắn rơi khi có hai quả tên lửa bắn lên.

Ta tính xác suất của biến cố đối \(P\left( {\overline B |A} \right)\): “Máy bay không rơi khi có hai quả tên lửa bắn lên”.

Ta có:

\(P\left( {\overline B |A} \right) = \left( {1-0,8} \right){\rm{ }}{\rm{.}}\left( {1-0,8} \right) = 0,22\; = 0,04\)

Vậy \(P\left( {B|A} \right) = 1 - P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0,04 = 0,96\)

\(P\left( {B|\overline A } \right)\): Nếu máy bay xuất hiện tại Y thì có một quả tên lửa bắn lên. Máy bay rơi khi bị quả tên lửa này bắn trúng.

Do đó \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,8\).

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)

\(= {\rm{ }}0,55{\rm{ }}.0,96{\rm{ }} + {\rm{ }}0,45{\rm{ }}{\rm{. }}0,8{\rm{ }} = {\rm{ }}0,888\)

Vậy xác suất bắn hạ máy bay đối phương trong phương án tác chiến nêu trên là 0,888.

--------------------------------------------------