Giải SGK Toán 12 trang 48 tập 2 Kết nối tri thức
Giải SGK Toán 12 trang 48 tập 2 Kết nối tri thức Bài 15
Giải SGK Toán 12 trang 48 tập 2 Kết nối tri thức cung cấp lời giải chi tiết các bài tập trong Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian. Nội dung được trình bày ngắn gọn, dễ hiểu, bám sát chương trình SGK mới, giúp học sinh nắm vững kiến thức và học tốt Toán 12.
Giải Luyện tập 10 trang 48 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng 
\({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = 3 + t\\
z = 1 - t\;
\end{array} \right.\;;{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}
x = s\\
y = 1 + 2s\\
z = 3s
\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng ∆1 đi qua điểm A(1; 3; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{\Delta 1}}} = \left( {2;1; - 1} \right)\)
Đường thẳng ∆2 đi qua điểm B(0; 1; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{\Delta 2}}} = \left( {1;2;3} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
[\overrightarrow {{u_{\Delta 1}}} ,\overrightarrow {{u_{\Delta 2}}} ] = \left( {5; - 7;3} \right)\\
\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 2; - 1} \right)
\end{array} \right.\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .[\overrightarrow {{u_{\Delta 1}}} ,\overrightarrow {{u_{\Delta 2}}} ] = - 5 + 14 - 3 = 6 \ne 0\)
Vậy ∆1 và ∆2 chéo nhau.
Giải Vận dụng 3 trang 48 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
(H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ A(1; 2; 0) và B(3; 5; 0) với vận tốc không đổi tương ứng là \(\overrightarrow {{v_1}} = \left( {2;1;3} \right);\overrightarrow {{v_2}} = \left( {1;2;1} \right)\). Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau không?
Hướng dẫn giải:
Hai vật thể chuyển động trên hai đường thẳng
Vật 1 chuyển động trên đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{v_1}}\)
Vật 2 chuyển động trên đường thẳng đi qua B và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{v_2}}\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;0} \right)\\
\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ;\overrightarrow {{v_2}} } \right] = \left( { - 5;1;3} \right)
\end{array} \right.\)
\(\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ;\overrightarrow {{v_2}} } \right] = - 10 + 3 = - 7 \ne 0\)
Do đó hai đường thẳng này chéo nhau.
Vậy trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên không va chạm vào nhau.
Giải bài 5.11 trang 48 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1; 2) và song song với đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 5}}{3}\).
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1;3} \right)\)
Vì ∆ // d nên đường thẳng ∆ nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;1;3} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1; 2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;1;3} \right)\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = 1 + t\\
z = 2 + 3t
\end{array} \right.\) và phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\)
Giải bài 5.12 trang 48 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua A(2; −1; 4) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3y – z – 1 = 0.
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;3; - 1} \right)\)
Vì ∆ ⊥ (P) nên đường thẳng ∆ nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng ∆ đi qua A(2; −1; 4), có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;3; - 1} \right)\) có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + t\\
y = - 1 + 3t\\
z = 4 - t
\end{array} \right.\) và phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\)
Giải bài 5.13 trang 48 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(2; 3; −1) và B(1; −2; 4).
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Đường thẳng D đi qua hai điểm A(2; 3; −1) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 5;5} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - t\\
y = 3 - 5t\\
z = - 1 + 5t
\end{array} \right.\) và phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{5}\).
Giải bài 5.14 trang 48 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = 3 - t\\
z = 2 + 3t
\end{array} \right.\;\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 8}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\;\)
a) Chứng minh rằng ∆1 và ∆2 cắt nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆1 và ∆2
Hướng dẫn giải:
a) Đường thẳng ∆1đi qua điểm A(1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;3} \right)\)
Đường thẳng ∆2 đi qua điểm B(8; −2; 2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1;2} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \left( {7; - 5;0} \right)\\
\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 5; - 7;1} \right)
\end{array} \right.\)
\(\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = - 35 + 35 = 0\)
Từ (1) và (2) suy ra ∆1 và ∆2 cắt nhau.
b) Mặt phẳng (P) chứa ∆1và ∆2 nên có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 5; - 7;1} \right)\)
Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 3; 2), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 5; - 7;1} \right)\) có phương trình là: −5(x – 1) – 7(y – 3) + (z – 2) = 0 ⇔ 5x + 7y – z – 24 = 0 .
Giải bài 5.15 trang 48 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\;;{\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}\)
a) Chứng minh rằng ∆1và ∆2 song song với nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆1 và ∆2
Hướng dẫn giải:
a) Đường thẳng ∆1 đi qua A(1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;1;2} \right)\)
Đường thẳng ∆2 đi qua B(1; −1; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;1;2} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;1;2} \right)\) và A ∉ ∆2 do đó ∆1 và ∆2 song song với nhau.
b) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 4; - 2} \right)\)
Mặt phẳng (P) chứa ∆1 và ∆2 có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( { - 6; - 6;12} \right)\)
Mặt phẳng (P) đi qua A(1; 3; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 6; - 6;12} \right)\) có phương trình là: −6(x – 1) −6(y – 3) + 12(z – 2) = 0 ⇔ 6x + 6y – 12z = 0 hay x + y – 2z = 0.
Giải bài 5.16 trang 48 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1 + t\\
y = 1\\
z = 3 + 2
\end{array} \right.;{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1 + 2s\\
y = 2 + s\\
z = 1 + 3s
\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng ∆1 đi qua A(−1; 1; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;0;2} \right)\)
Đường thẳng ∆2 đi qua B(−1; 2; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;1;3} \right)\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \left( {0;1; - 2} \right)\\
\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 2;1;1} \right)
\end{array} \right.\)
\(\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 1 - 2 = - 1 \ne 0\)
Do đó ∆1 và ∆2 chéo nhau.
--------------------------------------------
Giải SGK Toán 12 trang 48 tập 2 Kết nối tri thức giúp học sinh hiểu rõ cách giải các bài tập trong Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian một cách chính xác và hiệu quả. Hãy tham khảo thêm các bài giải SGK Toán 12 KNTT khác để củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và đạt kết quả cao trong học tập cũng như kỳ thi tốt nghiệp THPT.
