Giải SGK Toán 12 trang 18 tập 2 Kết nối tri thức

Giải SGK Toán 12 trang 18 tập 2 Kết nối tri thức Bài 12

Giải SGK Toán 12 trang 18 tập 2 Kết nối tri thức cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong Bài 12: Tích phân. Nội dung bám sát chương trình SGK mới, hướng dẫn phương pháp giải rõ ràng, giúp học sinh hiểu sâu kiến thức và học tốt Toán 12

Giải bài 4.8 trang 18 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

Gọi A(1; 0), B(2; 0) và C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 2; x = 1 với đường thẳng y = 2x + 1. Khi đó C(2; 5), D(1; 3).

Tích phân cần tính chính là diện tích của hình thang vuông ABCD với đáy nhỏ AD = 3, đáy lớn BC = 5, đường cao AB = 1.

Khi đó: \(\int_1^2 {\left( {2x + 1} \right)dx} = {S_{ABCD}}\)\(= \frac{{\left( {AD + BC} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {3 + 5} \right).1}}{2} = 4\)

b) Ta có:

Ta có \(\sqrt {9 - {x^2}}\) là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc tọa độ O và bán kính 3. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng.

Vậy \(\int_{ - 3}^3 {\sqrt {9 - {x^2}} dx} = \frac{1}{2}.\pi {.3^2} = \frac{{9\pi }}{2}\)

Giải bài 4.9 trang 18 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\int_0^3 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx}\)\(= \int_0^3 {f\left( x \right)dx} + \int_0^3 {g\left( x \right)dx} = 5 + 2 = 7\)

b) Ta có:

\(\int_0^3 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}\)\(= \int_0^3 {f\left( x \right)dx} - \int_0^3 {g\left( x \right)dx} = 5 - 2 = 3\)

c) Ta có:

\(\int_0^3 {3f\left( x \right)dx} = 3\int_0^3 {f\left( x \right)dx} = 3.5 = 15\)

d) Ta có:

\(\int_0^3 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx}\)\(= 2\int_0^3 {f\left( x \right)dx} - 3\int_0^3 {g\left( x \right)dx}\)\(= 2.5 - 3.2 = 4\)

Giải bài 4.10 trang 18 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\int_0^3 {{{\left( {3x - 1} \right)}^2}dx} = \int_0^3 {\left[ {9{x^2} - 6x + 1} \right]dx}\)

\(= 9\int_0^3 {{x^2}dx} - 6\int_0^3 {xdx} + 3\int_0^3 {dx}\)

\(= \left. {3{x^3}} \right|_0^3 - \left. {3{x^2}} \right|_0^3 + \left. x \right|_0^3 = 81 - 27 + 3 = 57\)

b) Ta có:

\(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \sin x} \right)dx} = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {dx} + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx}\)

\(= \left. x \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{\pi }{2} + 1\)

c) Ta có:

\(\int_0^1 {\left( {{e^{2x}} + 3{x^2}} \right)dx} = \int_0^1 {{e^{2x}}dx} + 3\int_0^1 {{x^2}dx}\)

\(= \left. {\frac{{{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 + \left. {{x^3}} \right|_0^1 = \frac{{{e^2}}}{2} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{{{e^2}}}{2} + \frac{1}{2}\)

d) Ta có:

\(\int_{ - 1}^2 {\left| {2x + 1} \right|dx} = \int_{ - 1}^{ - \frac{1}{2}} {\left| {2x + 1} \right|dx} + \int_{\frac{{ - 1}}{2}}^2 {\left| {2x + 1} \right|dx}\)

\(= \int_{ - 1}^{ - \frac{1}{2}} {\left( { - 2x - 1} \right)dx} + \int_{\frac{{ - 1}}{2}}^2 {\left( {2x + 1} \right)dx}\)

\(= \left. {\left( { - {x^2} - x} \right)} \right|_{ - 1}^{ - \frac{1}{2}} + \left. {\left( {{x^2} + x} \right)} \right|_{ - 1}^{ - \frac{1}{2}}\)\(= \frac{1}{4} + 6 + \frac{1}{4} = \frac{{13}}{2}\)

Giải bài 4.11 trang 18 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 ≤ t ≤ 4 là;

\(\int_1^4 {v\left( t \right)dx} = \int_1^4 {\left( {{t^2} - t - 6} \right)dx}\)

\(= \int_1^4 {{t^2}dx} - \int_1^4 {tdx} - 6\int_1^4 {dx}\)

\(= \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} - 6t} \right)} \right|_1^4 = \frac{{ - 32}}{3} + \frac{7}{6} = - \frac{9}{2}\)

b) Tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này là:

\(\int_1^4 {\left| {v\left( t \right)} \right|dx} = \int_1^4 {\left| {{t^2} - t - 6} \right|dx}\)

\(= \int_1^3 {\left| {{t^2} - t - 6} \right|dx} + \int_3^4 {\left| {{t^2} - t - 6} \right|dx}\)

\(= - \int_1^3 {\left( {{t^2} - t - 6} \right)dx} + \int_3^4 {\left( {{t^2} - t - 6} \right)dx}\)

\(= - \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} - 6t} \right)} \right|_1^3 + \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} - 6t} \right)} \right|_3^4\)

\(= \frac{{27}}{2} - \frac{{37}}{6} - \frac{{32}}{3} + \frac{{27}}{2} = \frac{{61}}{6}\)

Giải bài 4.12 trang 18 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 sản phẩm là:

\(\int_{100}^{101} {P'\left( x \right)dx} = \int_{100}^{101} {\left( { - 0,0005x + 12,2} \right)dx}\)

\(= \left. {\left( { - \frac{1}{{4000}}{x^2} + 12,2x} \right)} \right|_{100}^{101}\)

\(= {\rm{ }}1229,64975-1217,5{\rm{ }} = 12,14975\;\) triệu đồng.

b) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 110 sản phẩm là

\(\int_{100}^{110} {P'\left( x \right)dx} = \int_{100}^{110} {\left( { - 0,0005x + 12,2} \right)dx}\)

\(= \left. {\left( { - \frac{1}{{4000}}{x^2} + 12,2x} \right)} \right|_{100}^{110}\)

\(= {\rm{ }}1338,975-1217,5{\rm{ }} = 121,475\) triệu đồng.

Giải bài 4.13 trang 18 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

Vận tốc trung bình của động mạch là:

\({v_{tb}} = \frac{1}{{R - 0}}\int_0^R {v\left( r \right)dr} = \frac{1}{R}\int_0^R {k\left( {{R^2} - {r^2}} \right)dr}\)

\(= \frac{1}{R}.k.\left. {\left( {{R^2}r - \frac{{{r^3}}}{3}} \right)} \right|_0^R = \frac{2}{3}k{R^2}\)

Do đó, vận tốc trung bình của động mạch là \(\frac{2}{3}k{R^2}\)

Vì 0 ≤ r ≤ R nên vận tốc lớn nhất của động mạch là kR² khi r = 0.

Do đó \({v_{tb}} = \frac{2}{3}{v_{\max }}\)

--------------------------------------

Giải SGK Toán 12 trang 18 tập 2 Kết nối tri thức là tài liệu hữu ích giúp học sinh nắm vững Bài 12: Tích phân và thành thạo các dạng bài tập thường gặp. Đừng quên khám phá thêm hệ thống Giải SGK Toán 12 KNTT để củng cố kiến thức, nâng cao kỹ năng giải toán và đạt kết quả cao trong các kỳ kiểm tra, thi tốt nghiệp THPT.