Toán 12 Kết nối tri thức bài Tính nguyên hàm và tích phân với phần mềm GeoGebra. Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang
Giải bài tập Toán 12 bài Tính nguyên hàm và tích phân với phần mềm GeoGebra. Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang
Giải bài tập Toán 12 bài Tính nguyên hàm và tích phân với phần mềm GeoGebra. Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang được VnDoc.com tổng hợp và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo.
Thực hành 1 trang 82 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối
Sử dụng phần mềm Geogebra, tính:
\(a) \int \frac{x^{2}-2x+2 }{x+1} dx\)
\(b) \int_{0}^{\frac{\pi }{2} } e^{x} cos2xdx\)
Lời giải:
Khởi động phần mềm Geogebra, chọn Complex Adaptive System (CAS) để thực hiện tính toán nguyên hàm và tích phân.
a) Để tính \(\int \frac{x^{2}-2x+2 }{x+1} dx\), ta dùng lệnh IntegralSymbolic \(\left ( \frac{x^{2} -2x+2}{x+1} \right )\), kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới như hình sau:
Vậy \(\int \frac{x^{2} -2x+2}{x+1} dx = 5 l n\left | x+1 \right | +\frac{1}{2} x^{2} -3x+C\)
b) Để tính gần đúng tích phân \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2} } e^{x} cos2xdx\), ta dùng lệnh Nintegral(excos2x, 0, \(\frac{\pi }{2}\)), kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới như hình sau:
Vậy \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2} } e^{x} cos2xdx \approx - 1,16\)
Thực hành 2 trang 84 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối
Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng \(\int_{1}^{2} \frac{e^{x} }{x} dx\) với độ chính xác 0,01.
Lời giải:
1. Ta có: \(f(x) = \frac{e^{x} }{x}\)
\(f'(x) = \left ( \frac{e^{x} }{x} \right ) '= \frac{e^{x}.x-e^{x} }{x^{2} } = \left ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2} } \right ) e^{x}\)
\(f′′(x)=\left [ \left ( \frac{1}{x} -\frac{1}{x^{2} } \right ) e^{x} \right ] '
= \left ( \frac{1}{x} -\frac{2}{x^{2} } + \frac{2}{x^{3} } \right )
e^{x}\)
\(f'''(x) = \left [ \left ( \frac{1}{x} -\frac{2}{x^{2} } + \frac{2}{x^{3} } \right ) e^{x} \right ] ' = \left ( \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2} } +\frac{6}{x^{3} } - \frac{6}{x^{4} } \right ) e^{x}\)
f'''(x) = 0 thì x ≈ 1,596.
Ta có f''(1) = e; f''(1,596) ≈ 0,333 ∙ e1,569; f''(2) = \(\frac{e^{2} }{4}\)
Do đó, \(M = \max_{x\in \left [ 1,2 \right ] } \left | f''(x) \right | = e\)
2. Ta cần tìm n sao cho:
\(\frac{\left ( 2-1 \right )^{3} .e }{12n^{2} } < 0,01 \Leftrightarrow \frac{e}{12n^{2} } < 0,01 \Leftrightarrow n > \sqrt{\frac{25e}{3} }\)
Do đó, ta chọn n = 5.
3. Chia đoạn [1; 2] thành 5 đoạn có độ dài bằng nhau là [1; 1,2], [1,2; 1,4], [1,4; 1,6], [1,6; 1,8], [1,8; 2].
Áp dụng công thức hình thang, ta có:
\(\int_{1}^{2} \frac{e^{x} }{x} dx \approx \frac{2-1}{2.5} \left [ \frac{e^{x1} }{1} +2 .\frac{e^{1,2} }{1,2} +2.\frac{e^{1,4} }{1,4} +2.\frac{e^{1,6} }{1,6}+2.\frac{e^{1,8} }{1,8} + \frac{e^{2} }{2} \right ] \approx 3,065\)
Vận dụng trang 84 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối
Một thân cây dài 4,8 m được cắt thành các khúc gỗ dài 60 cm. Người ta đo đường kính của mỗi mặt cắt ngang và diện tích S của nó được ghi lại trong bảng dưới đây, ở đây x (cm) là khoảng cách tính từ đỉnh thân cây đến vết cắt.
|
x (cm) |
0 |
60 |
120 |
180 |
240 |
300 |
360 |
420 |
480 |
|
S (cm2) |
240 |
248 |
256 |
260 |
264 |
272 |
298 |
316 |
320 |
Tìm thể tích gần đúng của thân cây này.
Hướng dẫn.
Thể tích cần tính là \(V = \int_{0}^{480} S(x)dx\), trong đó S(x) là diện tích mặt cắt ngang tại vị trí cách đỉnh thân cây một khoảng x (cm). Sử dụng phương pháp hình thang để tính gần đúng tích phân này.
Lời giải
Thể tích gần đúng của thân cây đã cho là \(V = \int_{0}^{480} S(x)dx\)
Ta chia đoạn [0; 480] thành n = 8 đoạn con có độ dài bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài là 60. Các đoạn đó là: [0; 60], [60; 120], [120; 180], [180; 240], [240; 300], [300; 360], [360; 420], [420; 480].
Áp dụng công thức hình thang, ta có:
\(V = \int_{0}^{480} S(x)dx \approx\)
\(\frac{480-0}{2.8} (240 + 2 . 248 + 2 . 256 + 2 . 260 + 2 .264 + 2 . 272 + 2 . 298 + 2.316 + 320)\)
= 131 640 (cm 3 ) = 0,13164 (m 3 ).
