Giải SGK Toán 12 trang 39 tập 2 Kết nối tri thức

Giải SGK Toán 12 trang 39 tập 2 Kết nối tri thức Bài 14

Giải SGK Toán 12 trang 39 tập 2 Kết nối tri thức giúp học sinh giải chi tiết các bài tập trong Bài 14: Phương trình mặt phẳng. Lời giải rõ ràng, dễ hiểu, bám sát SGK sẽ giúp em nắm chắc kiến thức và nâng cao kỹ năng giải Toán 12.

Giải luyện tập 11 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3;1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;3;1} \right)\)

Vì \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}}\) và 2 ≠ 5. Do đó (P) và (Q) song song với nhau.

b) Lấy điểm M(0; 0; −2) ∈ (P).

Khi đó khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) là:

\(d(M,(Q)) = \frac{{\left| { - 2 + 5} \right|}}{{\surd 1 + {3^2} + 1}} = \frac{3}{{\sqrt {11} }}\)

Do đó \(d(M,(Q)) = d((P),(Q)) = \frac{3}{{\sqrt {11} }}\)

Giải vận dụng 5 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

Chọn các điểm như hình vẽ.

Gọi A là hình chiếu của C trên mặt phẳng (P).

Vì CBD là tam giác cân nên CA là đường cao, phân giác, trung tuyến của BD.

Ta có: \(CA = d(C,(P)) = \frac{{\left| {1 + 2.2 + 2.4 + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{16}}{3}\)

Vì tam giác CAB vuông tại A, có \(\widehat {ACB} = \frac{{{{115}^0}}}{2} = 57,{5^0}\)

Suy ra R = AB = CA.tan57,5° ≈ 8,4.

Vậy vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng 8,4.

Giải bài 5.1 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

Gọi mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng (P).

Vì mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox nên nhận \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M(1; 2; −1)\) và nhận \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(x – 1 = 0\).

Giải bài 5.2 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \;\overrightarrow {AD} = \left( {1;0; - 2} \right)\\ \overrightarrow {AA\prime } = \left( { - 1;2; - 1} \right)\\ \overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3;1} \right) \end{array} \right.\)

Vì ABCD là hình bình hành nên: \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}\)

\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l} {x_C} = 1\\ {y_C} - 2 = 0\\ {z_C} - 4 = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = 1\\ {y_C} = 2\\ {z_C} = 2 \end{array} \right.\)

Vậy C(1; 2; 2). 

Vì ABB'A' là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AA\prime } = \overrightarrow {BB'}\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l} {x_{B\prime }} = - 1\\ {y_{B\prime }} - 2 = 2\\ {z_{C\prime }} - 4 = - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{B\prime }} = - 1\\ {y_{B\prime }} = 4\\ {z_{C\prime }} = 3 \end{array} \right.\)

Vậy B'(−1; 4; 3).

Vì ADD'A' là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {A'D'}\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l} {x_{D\prime }} = 1\\ {y_{D\prime }} - 1 = 0\\ {z_{D\prime }} - 2 = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{D\prime }} = 1\\ {y_{D\prime }} = 1\\ {z_{D\prime }} = 0 \end{array} \right.\)

Vậy D'(1; 1; 0).

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \;\overrightarrow {CB'} = \left( { - 2;2;1} \right)\\ \overrightarrow {CD'} = \left( {0; - 1; - 2} \right) \end{array} \right.\)

Vì mặt phẳng (CB'D') có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {CB'} ;\overrightarrow {CD'}\) nên có một vectơ p\(x – 2y – z + 2 = 0.\)háp tuyến là:

\(\;\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {CB'} ;\overrightarrow {CD'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { - 1}&{ - 2} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}\\ { - 2}&0 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&2\\ 0&{ - 1} \end{array}} \right|} \right) = \left( { - 3; - 4;2} \right)\)

Mặt phẳng (CB'D') đi qua điểm C(1; 2; 2) và nhận \(\vec{n} =(−3;−4;2)\) là một vectơ pháp tuyến có phương trình là:

\(−3(x – 1) −4(y – 2) + 2(z −2) = 0\) ⇔ \(3x + 4y – 2z – 7 = 0\).

Giải bài 5.3 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3;2; - 1} \right)\\ \overrightarrow {{n_R}} = \left( {1;1; - 1} \right) \end{array} \right.\)

Vì (P) ⊥(Q) và (P) ⊥(R) nên \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ;\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( { - 1;2;1} \right)\)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M(1; −1; 5)\) và nhận làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 1;2;1} \right)\)

\(−(x – 1) + 2(y + 1) + (z – 5) = 0\) ⇔ \(x – 2y – z + 2 = 0\)

Giải bài 5.4 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

Gọi mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng (P).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\\ \overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 3} \right) \end{array} \right.\)

Vì (P) // Ox và (P) ⊥ (Q) nên \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow i ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {0;3;2} \right)\)

Mặt phẳng đi qua \(M(2; 3; −1)\) và nhận  làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là:

\(3(y – 3) + 2(z + 1) = 0 ⇔ 3y + 2z – 7 = 0.\)

Giải bài 5.5 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

Ta có O(0; 0; 0).

Ta có: \(d(O,(P)) = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{3}\)

Giải bài 5.6 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

Vì \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1;1} \right)\) và 2 ≠ 6 nên (P) // (Q).

Lấy M(0; 0; −2) ∈ (P).

Khi đó: \(d\left( {M,(Q)} \right) = d\left( {(P),(Q)} \right) = \frac{{\left| { - 2 + 6} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\)

Giải bài 5.7 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{n_P}} \left( {1;3; - 1} \right)\\ \overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1; - 2} \right) \end{array} \right.\)

Vì \(\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 1.1 + 3.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) = 0\)

Do đó hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Vì M ∈Ox nên M(a; 0; 0).

Vì d(M, (P)) = d(M, (Q)) nên

\(\begin{array}{l} \dfrac{{|a|}}{{\sqrt {1 + 9 + 1} }} = \dfrac{{|a + 1|}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }} \Leftrightarrow \dfrac{{|a|}}{{\sqrt {11} }} = \dfrac{{|a + 1|}}{{\sqrt 6 }}\\ \Leftrightarrow \sqrt 6 |a| = \sqrt {11} |a + 1| \Leftrightarrow 6{a^2} = 11{\left( {a + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 6{a^2} = 11{a^2} + 22a + 11 \Leftrightarrow 5{a^2} + 22a + 11 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = \frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5}\\ a = \frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5} \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu là: \({M_1} = \left( {\frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5};0;0} \right);{M_2} = \left( {\frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5};0;0} \right)\)

Giải bài 5.8 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

Giả sử mái nhà của ngôi nhà được minh họa như hình vẽ trên.

Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Gọi các cạnh đáy của hình chóp có độ dài là a, các cạnh bên có độ dài là b.

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên \(OA = OB = OC = OD = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vì SO là đường cao của tam giác SOC nên \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{b^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}}\)

Khi đó, ta có:

\(O\left( {0;{\rm{ }}0;{\rm{ }}0} \right),\;A\left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),\)

\(B\left( {0; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right),D\left( {0;\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right);S\left( {0;0;\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {SC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right)\\ \overrightarrow {DC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\\ \overrightarrow {BC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right) \end{array} \right.\)

Ta có:

\(\left[ {\overrightarrow {SC} ;\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }\\ { - 1}&0 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }&{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\\ 0&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}&0\\ 1&{ - 1} \end{array}} \right|} \right)\)\(= \left( { - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right).\)

\(\left[ {\overrightarrow {SC} ;\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }\\ 1&0 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }&{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\\ 0&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}&0\\ 1&1 \end{array}} \right|} \right)\)

\(= \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

Ta có mặt phẳng (SCD) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ;\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (SCB) nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ;\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.

Vì \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = - \left( {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} \right) - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^2}}}{2} \ne 0\)

Do đó hai mặt phẳng (SCD) và (SCB) không vuông góc với nhau.

Do đó ý tưởng trên không thực hiện được.

Giải bài 5.9 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

Vì mặt phẳng Oxy vuông góc với Oz nên mặt phẳng Oxy nhận \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Vì mặt phẳng Oxy đi qua điểm O(0; 0; 0) và có \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) vectơ pháp tuyến nên có phương trình là: \(z – 0 = 0\) hay \(z = 0\).

Mặt phẳng z – 1 = 0 có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;0;1} \right)\)

Vì \(\overrightarrow k = \overrightarrow {{n_1}}\) và 0 ≠ −1 nên mặt phẳng chứa sàn nhà song song với trần tầng 1.

----------------------------------

Trên đây là Giải SGK Toán 12 trang 39 tập 2 Kết nối tri thức trong Bài 14: Phương trình mặt phẳng với lời giải chi tiết và dễ hiểu. Hy vọng tài liệu sẽ giúp các em học tốt Toán 12, củng cố kiến thức và tự tin chinh phục các bài kiểm tra cũng như kỳ thi tốt nghiệp THPT.