Toán 12 Kết nối tri thức bài 12: Tích phân

Toán 12 Kết nối tri thức bài 12: Tích phân được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết với hướng dẫn giải bài tập SGK Toán 12 Kết nối tri thức tập 2 các trang 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.

Giải Toán 12 trang 12

Mở đầu trang 12 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −40t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Xem lời giải Toán 12 trang 12

Giải Toán 12 trang 13

Hoạt động 1 trang 13 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≤ t ≤ 4) (H.4.4)

a) Tính diện tích S của T khi t = 4.

b) Tính diện tích S(t) của T khi t ∈ [1; 4].

c) Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) = t + 1, t ∈ [1; 4] và diện tích S = S(4) – S(1).

Hoạt động 2 trang 13 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = x², trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Ta muốn tính diện tích S của hình thang cong này. 

a) Với mỗi x ∈ [1; 2], gọi S(x) là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 1 và x (H.4.5).

Cho h > 0 sao cho x + h < 2. So sánh hiệu S(x + h) – S(x) với diện tích hai hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H.4.6). Từ đó suy ra \(0 \leq \frac{S(x+h)-S(x)}{h} -x^{2} \leq 2xh + h^{2}\)

b) Cho h < 0 sao cho x + h > 1. Tương tự phần a, đánh giá hiệu S(x) – S(x + h) và từ đó suy ra \(2xh + h^{2} \leq \frac{S(x+h )-S(x)}{h} - x^{2} \leq 0\)

c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi h ≠ 0, ta có \(\left | \frac{S(x+h)-S(x)}{h} \right | \leq 2x\left | h \right | + h^{2}\)

Từ đó chứng minh S'(x) = x², x ∈ (1; 2).

Người ta chứng minh được S'(1) = 1, S'(2) = 4, tức là S(x) là một nguyên hàm của x2 trên [1; 2].

d) Từ kết quả của phần c, ta có \(S(x) = \frac{x^{3} }{3} + C\)

Sử dụng điều này với lưu ý S(1) = 0 và diện tích cần tính S = S(2), hãy tính S.

Gọi F(x) là một nguyên hàm tùy ý của f(x) = x² trên [1; 2]. Hãy so sánh S và F(2) – F(1).

Xem lời giải Toán 12 trang 13

Giải Toán 12 trang 14

Hoạt động 3 trang 14 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm tùy ý của f(x) trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a).

Xem lời giải Toán 12 trang 14

Giải Toán 12 trang 15

Luyện tập 1 trang 15 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Tính:

\(a) \int_{0}^{1 } e^{x} dx\)

\(b) \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx\)

\(c) \int_{0}^{\frac{\pi }{2} } sinxdx\)

\(d) \int_{\frac{\pi }{6} }^{\frac{\pi }{3} } \frac{dx}{sin^{2} x}\)

Xem lời giải Toán 12 trang 15

Giải Toán 12 trang 16

Luyện tập 2 trang 16 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

\(a) \int_{1}^{3} (2x+1)dx\)

\(b) \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^{2} } dx\)

Vận dụng 1 trang 16 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu.

Hoạt động 4 trang 16 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Tính và so sánh:

\(a) \int_{1}^{0} 2xdx và 2\int_{0}^{1} xdx\)

\(b) \int_{0}^{1} (x^{2} +x)dx và \int_{0}^{1} x^{2} dx +\int_{0}^{1}xdx\)

\(c) \int_{0}^{3} xdx và \int_{0}^{1} xdx + \int_{1}^{3} xdx\)

Xem lời giải Toán 12 trang 16

Giải Toán 12 trang 17

Luyện tập 3 trang 17 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Tính các tích phân sau:

\(a) \int_{0}^{2\pi } (2x + cosx)dx\)

\(b) \int_{1}^{2} (3^{x} -\frac{3}{x} )dx\)

\(c) \int_{\frac{\pi }{6} }^{\frac{\pi }{3} } \left ( \frac{1}{cos^{2}x } - \frac{1}{sin^{2}x } \right ) dx\)

Luyện tập 4 trang 17 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Tính \(\int_{0}^{3} \left | 2x-3 \right | dx\)

Vận dụng 2 trang 17 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là \(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)dx\). 

Giả sử nhiệt độ (tính bằng °C) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hóa bởi hàm số T(t) = 20 + 1,5(t – 6), 6 ≤ t ≤ 12. Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.

Xem lời giải Toán 12 trang 17

Giải Toán 12 trang 18

Bài 4.8 trang 18 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

\(a) \int_{1}^{2} (2x+1)dx\)

\(b) \int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^{2} } dx\)

Bài 4.9 trang 18 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Cho \(\int_{0}^{3} f(x)dx = 5 và \int_{0}^{3} g(x)dx = 2\). Tính

\(a) \int_{0}^{3} \left [ f(x) + g(x) \right ] dx;\)

\(b) \int_{0}^{3} \left [ f(x)-g(x) \right ] dx\)

\(c) \int_{0}^{3} 3f(x)dx;\)

\(d) \int_{0}^{3} \left [ 2f(x) - 3g(x) \right ] dx;\)

Bài 4.10 trang 18 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Tính:

\(a) \int_{0}^{3} (3x-1)^{2} dx\)

\(b) \int_{0}^{\frac{\pi }{2} } (1+sinx)dx\)

\(c) \int_{0}^{1} \left ( e^{2x} + 3x^{2} \right ) dx\)

\(d) \int_{-1}^{2} \left | 2x + 1 \right | dx\)

Bài 4.11 trang 18 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm t (giây) là v(t) = t² – t – 6 (m/s).

Bài 4.12 trang 18 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức P'(x) = −0,0005x + 12,2. Ở đây P(x) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được x đơn vị sản phẩm.

a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 sản phẩm.

b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 110 sản phẩm.

Bài 4.13 trang 18 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách r từ tâm của động mạch bán kính R không đổi, có thể được mô hình hóa bởi công thức v = k(R² – r²), trong đó k là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình (đối với r) của động mạch trong khoảng 0 ≤ r ≤ R. So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.

Xem lời giải Toán 12 trang 18