Giải SGK Toán 12 trang 63 tập 2 Kết nối tri thức
Hướng dẫn giải SGK Toán 12 trang 63 tập 2 đầy đủ
Giải SGK Toán 12 trang 63 tập 2 Kết nối tri thức tổng hợp lời giải chi tiết Bài tập cuối chương 5, giúp học sinh hệ thống kiến thức về hình học Oxyz và rèn luyện kỹ năng giải các dạng bài trọng tâm. Nội dung bám sát SGK, dễ hiểu, hỗ trợ học tốt Toán 12 và ôn thi hiệu quả.
Giải bài 5.45 trang 63 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 
\(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d'.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua A(−1; 1; 0) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2; - 1} \right)\)
Đường thẳng d' có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1;2} \right)\)
Ta có: \([\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ] = \left( {5; - 3; - 1} \right)\)
Mặt phẳng (P) đi qua A(−1; 1; 0) và nhận \([\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ] = \left( {5; - 3; - 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(5(x + 1) – 3(y – 1) – z = 0\) hay \(5x – 3y – z + 8 = 0\).
Giải bài 5.46 trang 63 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – y – z – 1 = 0, (Q): 2x + y – z – 2 = 0 và điểm A(−1; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua A đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\)
Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;1; - 1} \right)\)
Ta có: \(\;[\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} ] = \left( {2; - 1;3} \right)\)
Mặt phẳng (R) đi qua A(−1; 2; 0) và nhận \(\;[\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} ] = \left( {2; - 1;3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2(x + 1) – (y – 2) + 3z = 0\) hay \(2x – y + 3z + 4 = 0\).
Giải bài 5.47 trang 63 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - t\\
y = - 2 + t\\
z = 2t
\end{array} \right.\)
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.
b) Tính góc giữa d và d'.
Hướng dẫn giải:
a) Đường thẳng d đi qua A(−2; −3; 3) và có một vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2; - 2} \right)\)
Đường thẳng d' đi qua B(1; −2; 0) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1;2} \right)\)
Ta có: \([\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ] = \left( {6;0;3} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .[\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ] = 6.3 + 1.0 + \left( { - 3} \right).3 = 9 \ne 0\)
Do đó d và d' chéo nhau.
\(\cos \left( {d;d'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|\)\(= \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 2.1 + \left( { - 2} \right).2} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)
b) Ta có:
Suy ra (d, d') ≈ 65,9°.
Giải bài 5.48 trang 63 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{1}\) và mặt phẳng (P): x + y – 2z + 3 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)\)
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 2} \right)\)
Ta có:
\(\sin \left( {d;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 2} \right).1 + 1.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{{3\sqrt 6 }}\)
Suy ra (d, (P)) ≈ 15,8°.
Giải bài 5.49 trang 63 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 và mặt phẳng Oxy.
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\)
Mặt phẳng Oxy: z = 0 có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\)
Ta có: \(\cos \left( {\left( P \right);\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Suy ra ((P), (Oxy)) ≈ 54,7°.
Giải bài 5.50 trang 63 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau 2 m, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài 4 m; 4,4 m; 4,8 m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải:
Gọi 3 điểm ở trên mặt nước lần lượt là A, B, C và ba điểm tương ứng ở đáy bể là A', B', C' sao cho AA' = 4 m, BB' = 4,4 m, CC' = 4,8 m.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, O là trung điểm của AC.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
A\left( {0;1;0} \right),\;B(\sqrt 3 ;0;0),C\left( {0; - 1;0} \right),\\
A'\left( {0;1;4} \right),B\prime (\sqrt 3 ;0;4,4),\;C'\left( {0; - 1;4,8} \right)
\end{array}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\;\overrightarrow {A\prime B\prime } = (\sqrt 3 ; - 1;0,4)\\
\overrightarrow {A\prime C\prime } = \left( {0; - 2;0,8} \right)
\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\left[ {\overrightarrow {A\prime B\prime } ;\overrightarrow {A\prime C\prime } } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&{0,4}\\
{ - 2}&{0,8}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{0,4}&{\sqrt 3 }\\
{0,8}&0
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt 3 }&{ - 1}\\
0&{ - 2}
\end{array}} \right|} \right)\)
\(= \left( {0; - 0,8\sqrt 3 ; - 2\sqrt 3 } \right)\)
Mặt phẳng đáy bể là mặt phẳng (A'B'C') có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0; - 0,8\sqrt 3 ; - 2\sqrt 3 } \right)\)
Mặt phẳng nằm ngang (mặt nước) chính là mặt phẳng Oxy: z = 0 có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\)
Do đó:
\(\cos \left( {(A\prime B\prime C\prime ),(Oxy)} \right) = \frac{{\left| {0.0 - 0,8.\sqrt 3 .0 - 2\sqrt 3 .1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 0,8\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }}\)\(= \frac{{2\sqrt 3 }}{{\frac{{2\sqrt {87} }}{5}}} = \frac{{5\sqrt {20} }}{{29}}\)
Suy ra ((A'B'C'), (Oxy)) ≈ 21,8°.
Giải bài 5.51 trang 63 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Bản vẽ thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục tọa độ Oxyz. Sàn nhà của công trình thuộc mặt phẳng Oxy, đường ống thoát nước thẳng và đi qua hai điểm A(1; 2; −1) và B(5; 6; −2). Tính góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn.
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng Oxy: z = 0 có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\)
Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;4; - 1} \right)\)
Ta có: \(\sin \left( {AB;\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt 1 }} = \frac{1}{{\sqrt {33} }}\)
Suy ra (AB, (Oxy)) ≈ 10°.
Vậy góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn khoảng 10°.
Giải bài 5.52 trang 63 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Nếu đứng trước biển và nhìn ra xa, người ta sẽ thấy một đường giao giữa mặt biển và bầu trời, đó là đường chân trời đối với người quan sát (H.5.45a). Về mặt Vật lí, đường chân trời là đường giới hạn phần Trái Đất mà người quan sát có thể nhìn thấy được (phần còn lại bị chính Trái Đất che khuất). Ta có thể hình dung rằng, nếu người quan sát ở tại đỉnh của một chiếc nón và Trái Đất được “thả” vào trong một chiếc nón đó, thì đường chân trời trong trường hợp này là đường chạm giữa Trái Đất và chiếc nón (H.5.45b). Trong mô hình toán học, đường chân trời đối với người quan sát tại ví trí B là tập hợp những điểm A nằm trên bề mặt Trái Đất sao cho \(\widehat {BAO} = {90^0}\), với O là tâm Trái Đất (H.5.45c).
Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất (S) có phương trình x2 + y2 + z2 = 1 và người quan sát ở vị trí B(1; 1;-1). Gọi A là một vị trí bất kì trên đường chân trời đối với người quan sát ở vị trí B. Tính khoảng cách AB.
Hướng dẫn giải:
Mặt cầu (S) có tâm O(0; 0; 0) và R = 1.
Ta có A ∈ (S) nên OA = 1.
Ta có: \(OB = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 3\)
Xét tam giác BOA vuông tại O có:
\(AB = \sqrt {O{B^2} - O{A^2}} = \sqrt {3 - 1} = \sqrt 2\)
Vậy khoảng cách AB là \(\sqrt 2\).
----------------------------------------
Giải SGK Toán 12 trang 63 tập 2 Kết nối tri thức là tài liệu hữu ích giúp học sinh hoàn thành Bài tập cuối chương 5 một cách chính xác và nhanh chóng. Hãy luyện tập thường xuyên với hệ thống Giải SGK Toán 12 KNTT để củng cố kiến thức, nâng cao tư duy hình học không gian.
