Giải SGK Toán 12 trang 53 tập 2 Kết nối tri thức
Giải SGK Toán 12 trang 53 tập 2 Kết nối tri thức Bài 16
Giải SGK Toán 12 trang 53 tập 2 Kết nối tri thức mang đến lời giải chi tiết các bài tập trong Bài 16: Công thức tính góc trong không gian. Nội dung bám sát SGK, trình bày khoa học, giúp học sinh hiểu nhanh phương pháp giải và học tốt Toán 12.
Giải Vận dụng trang 53 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu.
Hướng dẫn giải:
Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với O là trung điểm của AC.
Ta có: A(0; −2; 0), B(2√3; 0; 0), C(0; 2; 0), A'(0; −2; 7), B'(2√3; 0; 6), C'(0; 2; 5).
Ta có: 
\(\left\{ \begin{array}{l}
\;\overrightarrow {AB} = (2\sqrt 3 ;2;0);\overrightarrow {AC} = \left( {0;4;0} \right)\\
\overrightarrow {A\prime B\prime } = (2\sqrt 3 ;2; - 1),\overrightarrow {A\prime C\prime } = \left( {0;4; - 2} \right)
\end{array} \right.\)
\(\left[ {\;\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&0\\
4&0
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{2\sqrt 3 }\\
0&0
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2\sqrt 3 }&2\\
0&4
\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0;8\sqrt 3 } \right)\)
\(\left[ {\;\overrightarrow {A\prime B\prime } ;\overrightarrow {A\prime C\prime } } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 1}\\
4&{ - 2}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&{2\sqrt 3 }\\
{ - 2}&0
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2\sqrt 3 }&2\\
0&4
\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;4\sqrt 3 ;8\sqrt 3 } \right)\)
Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là \(\frac{1}{{8\sqrt 3 }}.\left[ {\;\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0;1} \right)\)
Mặt phẳng (A'B'C') có một vectơ pháp tuyến là \(\frac{1}{{4\sqrt 3 }}.\left[ {\;\overrightarrow {A\prime B\prime } ;\overrightarrow {A\prime C\prime } } \right] = \left( {0;1;2} \right)\)
Do đó \(\cos \left( {(ABC),(A\prime B\prime C\prime )} \right) = \frac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt 1 .\sqrt {1 + 4} }} = \frac{{2\;}}{{\sqrt 5 }}\) ⇒ ((ABC), (A'B'C')) ≈ 26,6°.
Suy ra mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc khoảng 26,6°.
Giải bài 5.20 trang 53 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = 1 - t\\
z = 2 + 3t
\end{array} \right.\;;{\Delta _2}:\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{x + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\)
Hướng dẫn giải
Đường thẳng ∆1 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;3} \right)\)
Đường thẳng ∆2 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1;2} \right)\)
\(cos({\Delta _1},{\Delta _2}) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).1 + 3.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }}\)\(= \frac{3}{{\sqrt {14} .\sqrt 6 }} = \frac{3}{{\sqrt {84} }}\)
Suy ra (∆1, ∆2) ≈ 70,9°.
Giải bài 5.21 trang 53 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng (P): x + 2y – z – 1 = 0.
Hướng dẫn giải
Trục Oz có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\)
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\)
Ta có: \(\sin (Oz,(P)) = \frac{{\left| {0.1 + 0.2 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt 1 .\sqrt {1 + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)
Suy ra (Oz, (P)) ≈ 24,1°.
Giải bài 5.22 trang 53 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}\) và mặt phẳng (P): x + y + z + 3 = 0.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2;3} \right)\)
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\)
Ta có: \(\sin (\Delta ,(P)) = \frac{{\left| { - 1.1 + 2.1 + 3.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {42} }}\)
Suy ra (∆, (P)) ≈ 38,1°.
Giải bài 5.23 trang 53 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Hướng dẫn giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O là trung điểm của AC, BD.
Vì các tam giác SAC, SBD đều cân tại S, SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao.
Suy ra SO ⊥ AC, SO ⊥ BD nên SO ⊥ (ABCD).
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.
Vì ABCD là hình vuông cạnh 230 m nên OA = OB = OC = OD = 115√2.
Xét tam giác SOB vuông tại O ta có:
\(SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{219}^2} - {{(115\sqrt 2 )}^2}} = 7\sqrt {439}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
A\left( { - 115\sqrt 2 ;0;0} \right),B\left( {0; - 115\sqrt 2 ;0} \right)\\
C\left( {115\sqrt 2 ;0;0} \right),S\left( {0;0;7\sqrt {439} } \right)
\end{array} \right.\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\overrightarrow {SA} = \left( { - 115\sqrt 2 ;0; - 7\sqrt {439} } \right)\\
\overrightarrow {SB} = \left( {0; - 1152\sqrt 2 - 7\sqrt {439} } \right)
\end{array}\\
{\overrightarrow {SC} = \left( {115\sqrt 2 ;0; - 7\sqrt {439} } \right)}
\end{array}} \right.\)
Ta có
\(\left[ {\overrightarrow {SA} ;\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - 7\sqrt {439} }\\
{ - 115\sqrt 2 }&{ - 7\sqrt {439} }
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 7\sqrt {439} }&{ - 115\sqrt 2 }\\
{ - 7\sqrt {439} }&0
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 115\sqrt 2 }&0\\
0&{ - 115\sqrt 2 }
\end{array}} \right|} \right) = ( - 805\sqrt {878} ; - 805\sqrt {878} ;26450)\)
\(\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 115\sqrt 2 }&{ - 7\sqrt {439} }\\
0&{ - 7\sqrt {439} }
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 7\sqrt {439} }&0\\
{ - 7\sqrt {439} }&{ - 115\sqrt 2 }
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - 115\sqrt 2 }\\
{115\sqrt 2 }&0
\end{array}} \right|} \right) = (805\sqrt {878} ; - 805\sqrt {878} ;26450)\)
Mặt phẳng (SAB) nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{5}\left[ {\overrightarrow {SA} ;\overrightarrow {SB} } \right] = ( - 161\sqrt {878} ; - 161\sqrt {878} ;5290)\) làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng (SBC) nhận \(\overrightarrow {n'} = \frac{1}{5}\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {SB} } \right] = (161\sqrt {878} ; - 161\sqrt {878} ;5290)\) làm vectơ pháp tuyến.
Do đó
\(\cos \left( {(SAB),(SBC)} \right)\)\(= \frac{{\mid - {{(161\sqrt {878} )}^2} + {{(161\sqrt {878} )}^2} + {{5290}^2}\mid }}{{\sqrt {{{( - 161\sqrt {878} )}^2} + {{( - 161\sqrt {878} )}^2} + {{5290}^2}} .\sqrt {{{(161\sqrt {878} )}^2} + {{( - 161\sqrt {878} )}^2} + {{5290}^2}} }}\)
\(= \frac{{{{5290}^2}}}{{{{(161\sqrt {878} )}^2} + {{( - 161\sqrt {878} )}^2} + {{5290}^2}}} \approx 0,3807\)
Suy ra ((SAB), (SBC)) ≈ 67,6°.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) khoảng 67,6°.
Giải bài 5.24 trang 53 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
(H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là 40 cm, 44 cm, 48 cm.
a) Khoảng cách từ điểm D đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên).
b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải
a) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
40 cm = 0,4 m, 44 cm = 0,44 m, 48 cm = 0,48 m.
Khi đó ta có A(0; 1; 0,4), B(1; 1; 0,44), C(1; 0; 0,48).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0,04} \right)\)
Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 - {x_D} = 1\\
- {y_D} = 0\\
0,48 - {z_D} = 0,04
\end{array} \right.\)
Suy ra D(0; 0; 0,44).
Vậy khoảng cách từ điểm D đến đáy bể là 44 cm.
b) Ta có đáy bể nằm trong mặt phẳng Oxy: z = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0,04} \right)\\
\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1;0,08} \right)
\end{array} \right.\)\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0,04; - 0,04; - 1} \right)\)
Mặt phẳng (ABCD) đi qua A(0; 1; 0,4) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0,04; - 0,04; - 1} \right)\) có phương trình là:
0,04x – 0,04(y – 1) – (z – 0,4) = 0 ⇔ 0,04x – 0,04y – z + 0,44 = 0.
Do đó góc giữa đáy bể và mặt phẳng nằm ngang chính là góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt đáy.
Ta có: \(\cos \left( {(ABCD),(Oxy)} \right)\)\(= \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt 1 .\sqrt {0,{{04}^2} + {{\left( { - 0,04} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{25}}{{\sqrt {627} }}\)
Suy ra ((ABCD), (Oxy)) ≈ 3,2°.
--------------------------------------------
Giải SGK Toán 12 trang 53 tập 2 Kết nối tri thức là tài liệu hữu ích giúp học sinh chinh phục Bài 16: Công thức tính góc trong không gian một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thêm các bài giải SGK Toán 12 KNTT để củng cố kiến thức, phát triển tư duy hình học không gian và sẵn sàng cho các kỳ kiểm tra, kỳ thi quan trọng.
