Toán 12 Kết nối tri thức bài 14: Phương trình mặt phẳng

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Toán 12 Kết nối tri thức bài 14: Phương trình mặt phẳng để bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết với hướng dẫn giải bài tập SGK Toán 12 Kết nối tri thức tập 2 các trang 29 .... 39.

Giải Toán 12 trang 29

Mở đầu trang 29 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm t, vật thể ở vị trí \(M(\cos t – \sin t; \cos t + \sin t; \cos t)\). Hỏi vật thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?

Hoạt động 1 trang 29 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật phản lực pháp tuyến \(\overrightarrow n\), giá của vectơ \(\overrightarrow n\) vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì \(\overrightarrow n\) có phương gì? (H.5.1)

Xem lời giải Toán 12 trang 29

Giải Toán 12 trang 30

Luyện tập 1 trang 30 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A(1; −2; 3), B(−3; 0; 1)\). Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (α).

Hoạt động 2 trang 30 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\)

a) Vectơ \(\overrightarrow n = \left( {bc\prime - b\prime c;ca\prime - c\prime a;ab\prime - a\prime b} \right)\) có vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v\)hay không?

b) \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v\) có mối quan hệ gì?

Xem lời giải Toán 12 trang 30

Giải Toán 12 trang 31

Luyện tập 2 trang 31 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow u = \left( {2;3;1} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {4;6;2} \right)\). Tính \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right]\)?

Hoạt động 3 trang 31 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u ;\overrightarrow v\) không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).

a) Vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right]\) có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u ;\overrightarrow v\) hay không?

b) Mặt phẳng (P) có nhận \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến hay không?

Luyện tập 3 trang 31 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A(1; −2; 1), B(−2; 1; 0), C(−2; 3; 2)\). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Vận dụng 1 trang 31 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực \(\overrightarrow F\) để vặn con ốc ở vị trí O (H.5.6) thì moment lực \(\overrightarrow M\) được tính bởi công thức \(\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ;\overrightarrow F } \right]\)

a) Cho \(\overrightarrow {OP} = \left( {x;y;z} \right);\overrightarrow F = \left( {a;b;c} \right)\). Tính \(\overrightarrow M\)

b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động \(\overrightarrow F\) trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P' sao cho \(\overrightarrow {OP'} = 2\overrightarrow {OP}\) thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?

Xem lời giải Toán 12 trang 31

Giải Toán 12 trang 32

Hoạt động 4 trang 32 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong khng gian Oxyz, cho mặt phẳng (α). Gọi \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (α) và M₀(x₀; y₀; z₀) là một điểm thuộc (α).

a) Một điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi hai vectơ và có mối quan hệ gì?

b) Điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?

Luyện tập 4 trang 32 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

a) x²+ 2y²+ 3z² – 1 = 0;

b) \(\frac{x}{2} - y + \frac{z}{3} + 5 = 0\)

c) xy + 5 = 0.

Xem lời giải Toán 12 trang 32

Giải Toán 12 trang 33

Luyện tập 5 trang 33 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((α): x + 2 = 0\).

a) Điểm \(A(−2; 1; 0)\) có thuộc (α) hay không?

b) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (α).

Hoạt động 5 trang 33 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\)

Dựa vào Hoạt động 4, hãy nêu phương trình của (α).

Luyện tập 6 trang 33 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm \(M(1; 2; −4)\) và vuông góc với trục Oz.

Hoạt động 6 trang 33 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M(x₀; y₀; z₀) và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right);\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\)

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

b) Viết phương trình mặt phẳng (α).

Xem lời giải Toán 12 trang 33

Giải Toán 12 trang 34

Luyện tập 7 trang 34 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A(1; −2; −1), B(4; 1; 2), C(2; 3; 1)\). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm \(A(1; −2; −1)\) đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC.

Hoạt động 7 trang 34 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng: \(A(1; 2; 3), B(−1; 3; 4), C(2; −1; 2)\).

a) Hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((ABC)\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\).

Xem lời giải Toán 12 trang 34

Giải Toán 12 trang 35

Luyện tập 8 trang 35 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

(H.5.8) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) không đi qua gốc tọa độ và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng tại các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c ≠ 0).

Chứng minh rằng mặt phẳng (α) có phương trình: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

Vận dụng 2 trang 35 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Xác định tọa độ của vị trí M₁, M₂, M₃ của vật tương ứng với các thời điểm t = 0, t=π/2, t = π.

b) Chứng minh rằng M₁, M₂, M₃ không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng (M₁M₂M₃).

c) Vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost) có luôn thuộc mặt phẳng (M₁M₂M₃) hay không?

Hoạt động 8 trang 35 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α): Ax + By + Cz + D = 0, (β): A'x + B'y + C'z + D' = 0, với hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right);\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\) tương ứng.

a) Góc giữa hai mặt phẳng (α), (β) và góc giữa hai \(\overrightarrow n ;\overrightarrow {n'}\) giá của có mối quan hệ gì?

b) Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến tương ứng \(\overrightarrow n ;\overrightarrow {n'}\) có mối quan hệ gì?

Xem lời giải Toán 12 trang 35

Giải Toán 12 trang 36

Luyện tập 9 trang 36 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, hai mặt phẳng sau đây có vuông góc với nhau hay không? \((α): 3x + y – z + 1 = 0, (β): 9x + 3y – 3z + 3 = 0\).

Vận dụng 3 trang 36 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

(H.5.10) Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), B(2; 3; 0), C(0;2√2;0). Bốn bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn.

a) Viết phương trình bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó.

b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Xem lời giải Toán 12 trang 36

Giải Toán 12 trang 37

Hoạt động 9 trang 37 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((α): Ax + By + Cz + D = 0\), \((β): A'x + B'y + C'x + D' = 0\), với các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right);\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\)

Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song hoặc trùng nhau thì các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n ;\overrightarrow {n'}\) có mối quan hệ gì?

Luyện tập 10 trang 37 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: \((α): 5x + 2y – 4z + 6 = 0\) và \((β): 10x + 4y – 2z + 12 = 0\).

a) Hỏi (α) và (β) có song song với nhau hay không?

b) Chứng minh rằng điểm \(M(1; −3; 5)\) không thuộc mặt phẳng (α) nhưng thuộc mặt phẳng (β).

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua \(M(1; −3; 5)\) và song song với (α).

Vận dụng 4 trang 37 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Văn, Tiếng Anh. Trong không gian Oxyz, người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.

a) Chứng minh rằng các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình \(x + y + z – 27 = 0\).

b) Chứng minh rằng tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

Xem lời giải Toán 12 trang 37

Giải Toán 12 trang 39

Luyện tập 11 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 3y + z + 2 = 0 và (Q): x + 3y + z + 5 = 0.

a) Chứng minh rằng (P) và (Q) song song với nhau.

b) Lấy một điểm thuộc (P), tính khoảng cách từ điểm đó đến (Q). Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Vận dụng 5 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

(H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là 115°. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng \((P): x + 2y + 2z + 3 = 0\). Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)

Bài 5.1 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M(1; 2; −1)\) và vuông góc với trục Ox.

Bài 5.2 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\), với \(A(1; −1; 3), B(0; 2; 4), D(2; −1; 1), A'(0; 1; 2)\).

a) Tìm tọa độ các điểm C, B', D'.

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').

Bài 5.3 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M(1; −1; 5)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \((Q): 3x + 2y – z = 0\), \((R): x + y – z = 0\).

Bài 5.4 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua \(M(2; 3; −1)\), s\(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {0;3;2} \right)\)ong song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng \((Q): x + 2y – 3z + 1 = 0.\)

Bài 5.5 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng \((P): 2x + 2y – z + 1 = 0.\)

Bài 5.6 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((P): x + y + z + 2 = 0\), \((Q): x + y + z + 6 = 0\). Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Bài 5.7 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((P): x + 3y – z = 0, (Q): x – y – 2z + 1 = 0\).

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bài 5.8 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?

Bài 5.9 trang 39 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng \(z – 1 = 0\), mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng \(x + y + 50z – 100 = 0\). Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau.

Xem lời giải Toán 12 trang 39