Giải SGK Toán 12 trang 11 tập 2 Kết nối tri thức
Giải SGK Toán 12 trang 11 tập 2 Kết nối tri thức Bài 11
Giải SGK Toán 12 trang 11 tập 2 Kết nối tri thức giúp học sinh giải chi tiết các bài tập trong Bài 11: Nguyên hàm. Nội dung được biên soạn bám sát SGK, trình bày rõ ràng, dễ hiểu, giúp nắm vững kiến thức nền tảng và học tốt Toán 12.
Giải bài 4.1 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao?
a) F(x) = xlnx và f(x) = 1 + lnx trên khoảng (0; +∞);
b) F(x) = esinx và f(x) = ecosxtrên ℝ.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(F'\left( x \right) = \left( {x\ln x} \right)'\)\(= \ln x + x.\frac{1}{x} = 1 + \ln x = f\left( x \right)\)
Do đó, hàm số F(x) = xlnx là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + lnx trên khoảng (0; +∞).
b) Ta có:
\(F'\left( x \right) = ({e^{\sin x}})' = {e^{\sin x}}.\left( {\sin x} \right)'\)\(= \cos x.{e^{\sin x}}\; \ne {\rm{ }}f\left( x \right) = {e^{\cos x}}\)
Do đó, hàm số F(x) = esinx không là nguyên hàm của hàm số f(x) = ecosx trên ℝ.
Giải bài 4.2 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) f(x) = 3x2+ 2x – 1; b) f(x) = x3– x;
c) f(x) = (2x + 1)2; d) \(f\left( x \right) = {\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)^2}\);
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
∫3x2+2x−1dx=3∫x2dx+2∫xdx−∫dx=x3+x2−x+C
b) Ta có:
\(\int {\left( {{x^3} - x} \right)} dx = \int {{x^3}} dx - \int x dx = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} + C\)
c)Ta có:
\(\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}} dx = \int {\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right)} dx\)
\(= 4\int {{x^2}dx} + 4\int {xdx} + \int {dx}\)\(= \frac{4}{3}{x^3} + 2{x^2} + x + C\)
d) Ta có:
\(\int {{{\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \int {\left( {4{x^2} - 4 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx}\)
\(= 4\int {{x^2}dx} - 4\int {dx} + \int {\frac{1}{{{x^2}}}dx}\)
\(= 4\int {{x^2}dx} - 4\int {dx} + \int {{x^{ - 2}}dx}\)
\(= \frac{4}{3}{x^3} - 4x - \frac{1}{x} + C\)
Giải bài 4.3 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Tìm:
a) \(\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx\) b) \(\int {\sqrt x \left( {7{x^2} - 3} \right)dx} ;\left( {x > 0} \right)\)
c) \(\int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx\) d) \(\int {\left( {2{x^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx\)
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx = \int {\left( {3{x^{\frac{1}{2}}} + {x^{\frac{{ - 1}}{3}}}} \right)} dx\)
\(= 3\int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx + \int {{x^{\frac{{ - 1}}{3}}}} dx = 2{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2}{x^{\frac{2}{3}}} + C\)
\(= 2x\sqrt x + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x^2}}} + C\)
b) Ta có:
\(\int {\sqrt x \left( {7{x^2} - 3} \right)dx} = \int {\left( {7{x^{\frac{5}{2}}} - 3{x^{\frac{1}{2}}}} \right)dx}\)
\(= \int {\left( {7{x^{\frac{5}{2}}} - 3{x^{\frac{1}{2}}}} \right)dx} = 7\int {{x^{\frac{5}{2}}}dx} - 3\int {{x^{\frac{1}{2}}}dx}\)
\(= 2.{x^{\sqrt 7 }}3 - 2.{x^{\frac{3}{2}}} + C = 2\sqrt {{x^7}} - 2\sqrt {{x^3}} + C\)
c) Ta có:
\(\int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx = \int {\frac{{4{x^2} + 4x + 1}}{{{x^2}}}} dx\)\(= \int {\left( {4 + \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx\)
\(= 4\int {dx} + 4\int {\frac{1}{x}} dx + \int {\frac{1}{{{x^2}}}} dx\)\(= 4x + 4\ln |x| - \frac{1}{x} + C\)
d) Ta có:
\(\int {\left( {2{x^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)dx} = 2\int {{x^x}dx} + 3\int {\frac{1}{{{x^2}}}dx}\)
\(= 2\int {{x^x}dx} + 3\int {{x^{ - 2}}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \frac{3}{x} + C\)
Giải bài 4.4 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Tìm:
a) \(\int {\left( {2\cos x - \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx\) b) \(\int {4{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx}\)
c) \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx\) d) \(\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx\)
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(\int {\left( {2\cos x - \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx\)\(= 2\int {\cos xdx} - 3\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}\)
\(= 2\sin x + 3\cot x + C\)
b) Ta có:
\(\int {4{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} = 2\int {\left( {1 - \cos x} \right)dx} = 2\int {dx} - 2\int {\cos xdx}\)
\(= 2x - 2\sin x + C\)
c) Ta có:
\(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx\)\(= \int {\left( {1 - 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}} \right)} dx\)
\(= \int {dx} - \int {\sin xdx} = x + \cos x + C\)
d) Ta có:
\(\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx\)\(= \int {xdx} + \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)} dx\)
\(= \int {xdx} + \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int {dx}\)\(\ = \frac{{{x^2}}}{2} + \tan x - x + C\)
Giải bài 4.5 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (0; +∞). Biết rằng \(f'\left( x \right) = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\), với mọi x ∈ (0; +∞) và f(1) = 1. Tính giá trị f(4).
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx}\)\(= \int {\left( {2x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} = {x^2} - \frac{1}{x} + C\)
Vì f(1) = 1 nên 1 – 1 + C = 1 Þ C = 1.
Do đó \(f\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{x} + 1\)
Vậy \(f\left( 4 \right) = {4^2} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{{67}}{4}\)
Giải bài 4.6 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Xét điểm M(x; f(x)) thay đổi trên (C). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là kM = (x – 1)2 và điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức f(x).
Hướng dẫn giải:
Vì hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là kM = (x – 1)2 nên ta có:
Vì điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung nên f(0) = 0.
\(f\left( x \right) = \smallint {\left( {x - 1} \right)^2}dx = \smallint \left( {{x^2} - 2x + 1} \right)dx\)
\(= \smallint {x^2}dx - 2\smallint xdx + \smallint dx = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x + C\)
Do đó \(f\left( 0 \right) = \frac{{{0^3}}}{3} - {0^2} + 0 + C \Rightarrow C = 0\)
Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x\)
Giải bài 4.7 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi v(t) = 160 – 9,8t (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):
a) Sau t = 5 giây;
b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Hướng dẫn giải:
Gọi S(t) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau t giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.
Khi đó \(S\left( t \right) = \smallint v\left( t \right)dt\)\(= \smallint \left( {160 - 9,8t} \right)dt = 160t - 4,9{t^2} + C\)
Vì S(0) = 0 nên 160.0 – 4,9.0 + C = 0 => C = 0.
Do đó S(t) = −4,9t2 + 160 t.
a) Sau 5 giây độ cao của viên đạn là: S(5) = −4,9.52+ 160.5 = 677,5 (m).
b) Ta có:
S(t) = −4,9t2 + 160t
\(= - \frac{1}{{10}}\left( {49{t^2} - 2.7t.\frac{{800}}{7} + \frac{{64000}}{{49}}} \right) + \frac{{64000}}{{49}}\)
\(= - \frac{1}{{10}}{\left( {7t - \frac{{800}}{7}} \right)^2} + \frac{{64000}}{{49}} \le \frac{{64000}}{{49}}\)
Viên đạn đạt độ cao lớn nhất là \(\frac{{64000}}{{49}} \approx 1306,1\left( m \right)\) khi \(t = \frac{{800}}{{49}}\) giây.
---------------------------------------
Giải SGK Toán 12 trang 11 tập 2 Kết nối tri thức giúp học sinh nắm chắc kiến thức Bài 11: Nguyên hàm và áp dụng hiệu quả vào quá trình giải bài tập. Hãy tham khảo thêm các bài giải SGK Toán 12 KNTT để củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra cũng như kỳ thi tốt nghiệp THPT.
