Toán 12 Kết nối tri thức bài 18: Xác suất có điều kiện
Giải bài tập Toán 12 bài 18: Xác suất có điều kiện
Giải bài tập Toán 12 bài 18: Xác suất có điều kiện là tài liệu hữu ích giúp bạn đọc có thể trau dồi nội dung kiến thức và có thêm tài liệu học tập. Bài viết với hướng dẫn giải bài tập SGK Toán 12 Kết nối tri thức tập 2 các trang 66, 68, 69, 70.
Giải Toán 12 trang 64
Mở đầu trang 64 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối
Ô cửa bí mật (Let’s Make a Deal) là một trò chơi trên truyền hình nổi tiếng ở Mỹ, đã được mua bản quyền và phát sóng ở nhiều nước trên thế giới. Nội dung trò chơi như sau:
Người chơi được mời lên sân khấu và đứng trước ba cánh cửa đóng kín. Sau một cánh cửa có chiếc ô tô, sau mỗi cánh cửa còn lại là một con lừa. Người chưa được yêu cầu chọn ngẫu nhiên một cánh cửa, nhưng không được mở ra.
Tiếp đó người quản trò tuyên bố sẽ mở ngẫu nhiên một trong hai cánh cửa người chơi không chọn mà sau cửa đó là con lừa. Người quản trò hỏi người chơi muốn giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu của mình hay muốn chuyển sang cửa chưa mở còn lại.
Các kiến thức trong bài học này sẽ giúp cho người chơi lời khuyên.
Giải Toán 12 trang 65
Hoạt động 1 trang 65 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối
Hình thành khái niệm xác suất có điều kiện
Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi trong hộp, không trả lại. Sau đó Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc bút còn lại. Tính xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh nếu biết rằng Sơn đã lấy được bút bi đen.
Giải Toán 12 trang 66
Luyện tập 1 trang 66 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối
Trở lại Ví dụ 1. Tính 
\(P\left( {A|\overline B } \right)\) bằng định nghĩa và bằng công thức.
Luyện tập 2 trang 66 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối
Chứng tỏ rằng nếu A và B là hai biến cố độc lập thì:
\(P(\overline A |B) = P(\overline A )\) và \(P(A|\overline B ) = P(A)\).
Giải Toán 12 trang 68
Luyện tập 3 trang 68 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối
Một công ty dược phẩm muốn so sánh tác dụng điều trị bệnh X của hai loại thuốc M và N. Công ty đã tiến hành thử nghiệm với 4 000 bệnh nhân mắc bệnh X trong đó 2 400 bệnh nhân dùng thuốc M, 1600 bệnh nhân còn lại dùng thuốc N. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê 2 × 2 như sau:
|
Uống thuốc Kết quả |
M |
N |
|
Khỏi bệnh |
1 600 |
1 200 |
|
Không khỏi bệnh |
800 |
400 |
Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số 4 000 bệnh nhân thử nghiệm sau khi uống thuốc. Tính xác suất để bệnh nhân đó
a) uống thuốc M, biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh;
b) uống thuốc N, biết rằng bệnh nhân đó không khỏi bệnh.
Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối
Hình thành công thức nhân xác suất Chứng minh rằng, với hai biến cố A và B, P(B) > 0, ta có:
\(P(AB) = P(B) . P(A | B)\).
Giải Toán 12 trang 69
Luyện tập 4 trang 69 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối
Trở lại Ví dụ 4. Tính xác suất để:
a) Sơn lấy được bút bi xanh và Tùng lấy được bút bi đen;
b) Hai chiếc bút lấy ra có cùng màu.
Vận dụng trang 69 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối
Trở lại trò chơi “Ô cửa bí mật” trong tình huống mở đầu. Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3.
Kí hiệu E1; E2; E3 tương ứng là các biến cố: “Sau ô cửa số 1 có ô tô”; “Sau ô cửa số 2 có ô tô”; “Sau ô cửa số 3 có ô tô” và H là biến cố: “Người quản trò mở ô cửa số 3 thấy con lừa”.
Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 thấy con lừa, tức là khi H xảy ra. Để quyết định thay đổi lựa chọn hay không, người chơi cần so sánh hai xác suất có điều kiện: P(E1 | H) và P(E2 | H).
a) Chứng minh rằng:
● P(E1) = P(E2) = P(E3) = \(\frac{1}{3}\)
● P(H | E1) = \(\frac{1}{2}\) và P(H | E2) = 1.
b) Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất, chứng minh rằng:
\(P (E_{1} |H) = \frac{P(E_{1}).P(H|E_{1}) }{P(H)} ;\)
\(P (E_{2} |H) = \frac{P(E_{2}).P(H|E_{2}) }{P(H)}\)
c) Từ các kết quả trên hãy suy ra:
P(E2 | H) = 2P(E1 | H).
Từ đó hãy đưa ra lời khuyên cho người chơi: Nên giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu hay chuyển sang cửa chưa mở còn lại?
Hướng dẫn: Nếu E1 xảy ra, tức là sau cửa số 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau. Vậy P(H | E1) =\(\frac{1}{2}\).
Nếu E2 xảy ra, tức là sau cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chắn phải mở cửa số 3. Do đó, P(H | E2) = 1.
Giải Toán 12 trang 70
Bài 6.1 trang 70 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối
Một hộp kín đựng 20 tấm thẻ giống hệt nhau đánh số từ 1 đến 20. Một người rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ từ trong hộp. Người đó được thông báo rằng thẻ rút ra mang số chẵn. Tính xác suất để người đó rút được thẻ số 10.
Bài 6.2 trang 70 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối
Cho \(P(A) = 0,2; P(B) = 0,51; P(B | A) = 0,8\). Tính \(P(A | B)\).
Bài 6.3 trang 70 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để:
a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 nếu biết rằng ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm;
b) Có ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm nếu biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7.
Bài 6.4 trang 70 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đó không nhỏ hơn 10 nếu biết rằng có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm.
Bài 6.5 trang 70 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối
Bạn An phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là 0,7. Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0,9. Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai chỉ là 0,4. Tính xác suất để:
a) Cả hai thí nghiệm đều thành công;
b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công;
c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công.
Bài 6.6 trang 70 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối
Trong một túi có một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 cái kẹo màu cam, còn lại là kẹo màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên một cái kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà lại lấy ngẫu nhiên thêm một cái kẹo khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai cái kẹo màu cam là 13. Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu cái kẹo?
