Giải SGK Toán 12 trang 25 tập 2 Kết nối tri thức
Giải SGK Toán 12 trang 25 tập 2 Kết nối tri thức Bài 13
Giải SGK Toán 12 trang 25 tập 2 Kết nối tri thức hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân. Lời giải bám sát SGK, trình bày logic, giúp học sinh nắm vững phương pháp tính diện tích và thể tích bằng tích phân, từ đó học tốt Toán 12.
Giải vận dụng 3 trang 25 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông OABC trong mặt phẳng Oxy với OA = h, AB = R và OC = r, quanh trục Ox (H.4.28).
b) Từ công thức thu được ở phần a, hãy rút ra công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng R và chiều cao h.
Hướng dẫn giải:
a) Chọn hệ trục như hình vẽ.
Khi đó ta có C(0; r), B(h; R). Suy ra: 
\(\overrightarrow {BC} = \left( {h;R - r} \right)\)
Phương trình đường thẳng BC qua C và nhận \(\overrightarrow n = \left( {r - R;h} \right)\) có dạng:
\((r – R)x + h(y − r) = 0\) hay \(y = \frac{{hr + \left( {R - r} \right).x}}{h}\)
Thể tích cần tính là:
\(V = \pi {\int_0^h {\left[ {\frac{{hr + \left( {R - r} \right).x}}{h}} \right]} ^2}dx\)
\(= \pi {\int_0^h {\left[ {{r^2} + 2r.\frac{{R - r}}{h}.x + {{\left( {\frac{{R - r}}{h}.x} \right)}^2}} \right]} ^2}dx\)
\(= \left. {\pi \left( {{r^2}x + r.\frac{{R - r}}{h}.{x^2} + {{\left( {\frac{{R - r}}{h}} \right)}^2}.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h\)
\(= \pi \left[ {{r^2}h + \left( {Rr - {r^2}} \right).h + \frac{{{{\left( {R - r} \right)}^2}.h}}{3}} \right]\)
\(= \pi \left( {{r^2}h + Rrh - {r^2}h + \frac{1}{3}{R^2}h - \frac{2}{3}Rrh + \frac{1}{3}{r^2}h} \right)\)
\(= \pi \left( {\frac{1}{3}{R^2}h + \frac{1}{3}Rrh + \frac{1}{3}{r^2}h} \right)\)
\(= \frac{1}{3}\pi .h\left( {{R^2} + Rr + {r^2}} \right)\)
b) Khi r = 0 thì khối nón cụt trở thành khối nón có chiều cao h, bán kính đáy là R.
Do đó \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\)
Giải bài 4.14 trang 25 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Tính diện tích của hình phẳng được tô màu trong Hình 4.29.
Hướng dẫn giải:
Diện tích cần tính là:
\(S = \int_0^4 {\left| {5x - {x^2} - x} \right|dx} = \int_0^4 {\left| {4x - {x^2}} \right|dx}\)
\(= \int_0^4 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {2{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{32}}{3}\)
Giải bài 4.15 trang 25 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) \(y = {e^x};y = {x^2} - 1;x = - 1;y = 1\)
b) \(y = \sin ;y = x;x = \frac{\pi }{2};x = \pi\)
c) \(y = 9 - {x^2};y = 2{x^2};x = - \sqrt 3 ;x = \sqrt 3\)
d) \(y = \sqrt x ;y = {x^2};x = 0;x = 1\)
Hướng dẫn giải:
a)
Diện tích cần tính là:
\(S = \int_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - {x^2} + 1} \right|dx} = \int_{ - 1}^1 {\left( {{e^x} - {x^2} + 1} \right)dx}\)
\(= \left. {\left( {{e^x} - \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1\)\(= e + \frac{2}{3} - {e^{ - 1}} + \frac{2}{3} = \frac{{{e^2} - 1}}{e} + \frac{4}{3}\)
b) Diện tích cần tính là:
\(S = \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left| {\sin x - x} \right|dx} = \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left( {x - \sin x} \right)dx}\)
\(= \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \cos x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi = \frac{{{\pi ^2}}}{2} - 1 - \frac{{{\pi ^2}}}{8} = \frac{{3{\pi ^2}}}{8} - 1\)
c)
Diện tích cần tính là:
\(S = \int_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {9 - {x^2} - 2{x^2}} \right|dx}\)\(= \int_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {9 - 3{x^2}} \right|dx} = \int_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left( {9 - 3{x^2}} \right)dx}\)
\(= \left. {\left( {9x - {x^3}} \right)} \right|_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 }\)\(= 9\sqrt 3 - 3\sqrt 3 + 9\sqrt 3 - 3\sqrt 3 = 12\sqrt 3\)
d)
Diện tích cần tính là:
\(S = \int_0^1 {\left| {\sqrt x - {x^2}} \right|dx} = \int_0^1 {\left( {\sqrt x - {x^2}} \right)dx}\)
\(= \left. {\left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{3}\)
Giải bài 4.16 trang 25 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh họa sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi x là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và y là phần trăm tổng thu nhập, mô hình y = x sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz y = f(x), biểu thị phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với 0 ≤ x ≤ 100, biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm 2005, đường con Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số
y = (0,00061x2 + 0,0218x + 1723)2, 0 ≤ x ≤ 100,
trong đó x được tính từ các gia đình nghèo nhất đến giàu có nhất (Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009).
Tìm sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005.
Hướng dẫn giải:
Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005 là:
\(S = \int_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218 + 1723} \right)}^2} - x} \right|dx}\)
\(= \int_0^{100} {\left| {0,{{00061}^2}{x^4} + 4,{{7524.10}^{ - 4}}.{x^2} + {{1723}^2} + 2,{{6596.10}^{ - 5}}{x^3} + 2,10206{x^2} + 75,1228x) - x} \right|dx}\)
\(= \int_0^{100} {\left| {0,000612{x^4} + 2,{{6596.10}^{ - 5}}{x^3} + 2,10253524{x^2} + 74,1228x + {{1723}^2}} \right|dx}\)
\(= \int_0^1 {\left( {0,000612{x^4} + 2,{{6596.10}^{ - 5}}{x^3} + 2,10253524{x^2} + 74,1228x + {{1723}^2}} \right)dx}\)
\(= \left. {\left( {7,{{442.10}^{ - 8}}.{x^5} + 6,{{649.10}^{ - 6}}.{x^4} + 0,70084508.{x^3} + 37,0614.{x^2} + 17232.x} \right)} \right|_0^1\)
\(= 7,{442.10^{ - 8}}{.100^5} + 6,{649.10^{ - 6}}{.100^4} + 0,{70084508.100^3} + 37,{0614.100^2} + {1723^2}.100\)
\(= {\rm{ }}297945768,2\)
-------------------------------------------
Giải SGK Toán 12 trang 25 tập 2 Kết nối tri thức giúp học sinh nắm chắc Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân thông qua lời giải chi tiết và phương pháp trình bày dễ hiểu. Hãy theo dõi thêm các bài Giải SGK Toán 12 KNTT để củng cố kiến thức, nâng cao kỹ năng giải toán và chuẩn bị tốt cho các kỳ kiểm tra, kỳ thi tốt nghiệp THPT.
