Toán 12 Kết nối tri thức bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

Toán 12 Kết nối tri thức bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết với hướng dẫn giải bài tập SGK Toán 12 Kết nối tri thức tập 2 các trang 41 ... 49

Giải Toán 12 trang 41

Mở đầu trang 41 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, mắt một người quan sát ở điểm \(M(2; 3; −4)\) và vật cần quan sát đặt tại điểm \(N(−1; 0; 8)\). Một tấm bìa chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm O(0; 0; 0), bán kính bằng 3 và đặt trong mặt phẳng Oxy. Hỏi tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm N hay không?

Hoạt động 1 trang 41 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian, cho điểm M và vectơ \(\overrightarrow u\) khác vectơ - không. Khẳng định nào trong hai khẳng định sau là đúng?

a) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và vuông góc với giá của \(\overrightarrow u\).

b) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với giá của \(\overrightarrow u\)

Xem lời giải Toán 12 trang 41

Giải Toán 12 trang 42

Luyện tập 1 trang 42 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) (H.5.25). Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối đều là đỉnh của hình lăng trụ, những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?

Hoạt động 2 trang 42 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right) \ne \overrightarrow 0\) không đổi và xuất phát từ điểm A(x₀; y₀; z₀) (H.5.26).

a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm mà nó đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?

b) Giả sử tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi xuất phát, vật thể ở vị trí M(x; y; z). Tính x, y, z theo a, b, c, x₀, y₀,; z₀ và t.

Xem lời giải Toán 12 trang 42

Giải Toán 12 trang 43

Luyện tập 2 trang 43 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 3t\\ z = 1 + t \end{array} \right.\)

a) Hãy chỉ ra hai điểm thuộc ∆ và một vectơ chỉ phương của ∆.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O(0; 0; 0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow v = \left( {1;3;1} \right)\).

Hoạt động 3 trang 43 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) (a, b, c là các số khác 0).

a) Điểm \(M(x; y; z)\) thuộc ∆ khi \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\) và \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) chỉ khi hai vectơ và có mối quan hệ gì?

b) Điểm \(M(x; y; z)\) thuộc ∆ khi và chỉ khi các phân số \(\frac{{x - {x_0}}}{a};\frac{{y - {y_0}}}{b};\frac{{z - {z_0}}}{c}\) có mối quan hệ gì?

Luyện tập 3 trang 43 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{5}\). Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của ∆ và hai điểm thuộc ∆.

Xem lời giải Toán 12 trang 43

Giải Toán 12 trang 44

Luyện tập 4 trang 44 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2; −1; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2;3} \right)\)

Luyện tập 5 trang 44 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2; −1; 3) và vuông góc với mặt phẳng Oyz.

Hoạt động 4 trang 44 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂).

a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng A₁A₂.

b) Viết phương trình đường thẳng A₁A₂.

Luyện tập 6 trang 44 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 1; 3) và B(2; 4; 6).

Xem lời giải Toán 12 trang 44

Giải Toán 12 trang 45

Vận dụng 1 trang 45 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

(H.5.27) Trong tình huống mở đầu hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MN.

b) Tính tọa độ giao điểm D của đường thẳng MN với mặt phẳng Oxy.

c) Hỏi điểm D có nằm giữa hai điểm M và N hay không?

Hoạt động 5 trang 45 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right);\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\)

a) Hai đường thẳng ∆₁và ∆₂ vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai giá của \(\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}}\) có mối quan hệ gì?

b) Tìm điều kiện đối với \(\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}}\) để ∆₁và ∆₂ vuông góc với nhau.

Luyện tập 7 trang 45 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\). Hỏi đường thẳng ∆ có vuông góc với trục Oz hay không?

Vận dụng 2 trang 45 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó tương ứng thuộc hai đường thẳng:

\({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 1 + t\\ z = 0 \end{array} \right.;{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 2s\\ y = 2s\\ z = 1 \end{array} \right.\)

Hỏi hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

Xem lời giải Toán 12 trang 45

Giải Toán 12 trang 46

Hoạt động 6 trang 46 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆₁; ∆₂ lần lượt đi qua các điểm A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = ({a_1};{b_1};{c_1});\overrightarrow {{u_2}} = ({a_2};{b_2};{c_2})\;\) (H.5.29).

a) Tìm điều kiện đối với \(\overrightarrow {{u_1}}\) và \(\overrightarrow {{u_2}}\) để ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau.

b) Giả sử \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0\) và \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\) thì ∆₁ và ∆₂ có cắt nhau hay không?

c) Giả sử \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\) thì ∆₁và ∆₂ có chéo nhau hay không?

Luyện tập 8 trang 46 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:

\({\Delta _1}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\;;{\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{z}{3}\)

Xem lời giải Toán 12 trang 46

Giải Toán 12 trang 47

Luyện tập 9 trang 47 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}\;\) và \(\;{\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{4}\). Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng ∆₁và ∆₂ song song với nhau;

b) Đường thẳng ∆₁ và trục Ox chéo nhau;

c) Đường thẳng ∆₂ trùng với đường thẳng \(\;{\Delta _3}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}\)

d) Đường thẳng ∆₂ cắt trục Oz.

Xem lời giải Toán 12 trang 47

Giải Toán 12 trang 48

Luyện tập 10 trang 48 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 3 + t\\ z = 1 - t\; \end{array} \right.\;;{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l} x = s\\ y = 1 + 2s\\ z = 3s \end{array} \right.\)

Vận dụng 3 trang 48 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

(H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ A(1; 2; 0) và B(3; 5; 0) với vận tốc không đổi tương ứng là \(\overrightarrow {{v_1}} = \left( {2;1;3} \right);\overrightarrow {{v_2}} = \left( {1;2;1} \right)\). Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau không?

Bài 5.11 trang 48 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1; 2) và song song với đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 5}}{3}\).

Bài 5.12 trang 48 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua A(2; −1; 4) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3y – z – 1 = 0.

Bài 5.13 trang 48 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(2; 3; −1) và B(1; −2; 4).

Bài 5.14 trang 48 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 3 - t\\ z = 2 + 3t \end{array} \right.\;\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 8}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\;\)

a) Chứng minh rằng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆₁ và ∆₂

Bài 5.15 trang 48 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\;;{\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}\)

a) Chứng minh rằng ∆₁và ∆₂ song song với nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆₁ và ∆₂

Bài 5.16 trang 48 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + t\\ y = 1\\ z = 3 + 2 \end{array} \right.;{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + 2s\\ y = 2 + s\\ z = 1 + 3s \end{array} \right.\)

Xem lời giải Toán 12 trang 48

Giải Toán 12 trang 49

Bài 5.17 trang 49 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình: \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{2} = y - 1 = \frac{{z + 1}}{3}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}\)

a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Bài 5.18 trang 49 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ điểm A(1; 3; 4) và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là \(\overrightarrow v = \left( {2;1;6} \right)\). Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không?

a) Mục tiêu đặt tại điểm M(7;72;21)

b) Mục tiêu đặt tại điểm N(−3; 1; −8).

Bài 5.19 trang 49 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối

Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại ví trí O trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 m về hướng S60°E (hướng tạo với hướng nam góc 60° tạo với hướng đông góc 30°) (H.5.32).

Chọn hệ trục Oxyz có gốc tọa độ là O, tia Ox chỉ hướng nam, tia Oy chỉ hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.

Xem lời giải Toán 12 trang 49