Giải SGK Toán 12 trang 22 tập 2 Kết nối tri thức
Giải SGK Toán 12 trang 22 tập 2 Kết nối tri thức Bài 13
Giải SGK Toán 12 trang 22 tập 2 Kết nối tri thức hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân. Lời giải bám sát SGK, trình bày logic, giúp học sinh nắm vững phương pháp tính diện tích và thể tích bằng tích phân, từ đó học tốt Toán 12.
Giải vận dụng 1 trang 22 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau (x0; p0) của đồ thị hàm cầu p = D(x) và đồ thị hàm cung p = S(x) được gọi là điểm cân bằng.
Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang p = p0 và đường thẳng đứng x = 0 là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang p = p0 và đường thẳng đứng x = 0 được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.
(Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009).
Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi:
Hàm cầu: p = −0,36x + 9 và hàm cung: p = 0,14x + 2, trong đó x là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.
Hướng dẫn giải:
Hoành độ điểm cân bằng là nghiệm của phương trình:
−0,36x + 9 = 0,14x + 2 ⇔ x = 14.
Tọa độ điểm cân bằng là (14; 3,96).
Thặng dư tiêu dùng là:
\({S_1} = \int_1^{14} {\left| { - 0,36x + 9 - 3,96} \right|dx}\)\(= \int_1^{14} {\left( { - 0,36 + 5,04} \right)dx}\)
Thặng dư sản xuất là:
\({S_2} = \int_1^{14} {\left| {3,96 - 0,14x - 2} \right|dx}\)\(= \int_1^{14} {\left( {1,96 - 0,14} \right)dx}\)
\(= \left. {\left( {1,96x - 0,07{x^2}} \right)} \right|_0^{14} = 13,72\)
Giải hoạt động 3 trang 22 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Xét hình trụ có bán kính đáy R, có trục là trục hoành Ox, nằm giữa hai mặt phẳng x = a và x = b (a < b) (H.4.20).
a) Tính thể tích V của hình trụ.
b) Tính diện tích mặt cắt S(x) khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x (a ≤ x ≤ b). Từ đó tính \(\int_a^b {S\left( x \right)dx}\) và so sánh với V.
Hướng dẫn giải:
a) Độ dài chiều cao hình trụ là: h = b - a
Thể tích của hình trụ là: V = πR2h = πR2(b – a).
b) Diện tích mặt cắt S(x) khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox là
S(x) = πR2.
Ta có: \(\int_a^b {S\left( x \right)dx} = \int_a^b {\pi {R^2}dx}\)\(= \left. {\left( {\pi Rx} \right)} \right|_a^b = \pi {R^2}\left( {b - a} \right)\)
Vậy \(V = \int_a^b {S\left( x \right)dx}\)
Giải vận dụng 2 trang 23 SGK Toán 12 Tập 2 KNTTT
Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là S0, S1 và chiều cao bằng h (H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.
Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Gọi a, b lần lượt là khoảng cách từ O đến đáy nhỏ và đáy lớn của hình chóp. Khi đó chiều cao của hình chóp cụt là h = b – a.
Thiết diện của khối chóp cụt khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x (a ≤ x ≤ b) là một đa giác đều đồng dạng với đáy lớn của hình chóp cụt theo tỉ số đồng dạng là \(\frac{x}{b}\)
Khi đó \(\frac{{S\left( x \right)}}{{{S_1}}} = \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} \Rightarrow S\left( x \right) = \frac{{{x^2}.{S_1}}}{{{b^2}}}\)
Do đó thể tích khối chóp cụt đều là:
\(V = \int_a^b {S\left( x \right)dx} = \int_a^b {\frac{{{x^2}.{S_1}}}{{{b^2}}}dx}\)
\(= \left. {\left( {\frac{{{S_1}}}{{{b^2}}}.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_a^b = \frac{{{S_1}}}{{{b^2}}}.\left( {{b^3} - {a^3}} \right)\)\(= \frac{{b - a}}{{3{b^2}}}\left( {{S_1}{b^2} + {S_1}ab + {S_1}{a^2}} \right)\)
\(= \frac{h}{3}\left[ {{S_1} + {S_1}.\left( {\frac{a}{b}} \right) + {S_1}{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2}} \right]\)
Vì \(\frac{{{S_0}}}{{{S_2}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} \Rightarrow {S_0} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2}.{S_1}\)\(\Rightarrow {S_0}{S_1} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2}.{S_1}^2 \Rightarrow \sqrt {{S_0}{S_1}} = \frac{a}{b}.{S_1}\)
Vậy \(V = \frac{h}{3}.\left[ {{S_1} + \sqrt {{S_1}{S_0}} + {S_0}} \right]\)
Khối chóp đều được coi là khối chóp cụt đều khi S0 = 0.
Do đó thể tích khối chóp đều là \(V = \frac{1}{3}.S.h\)
Giải hoạt động 4 trang 24 SGK Toán 12 Tập 2 KNTT
Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}x\), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 4. Khi quay hình phẳng này xung quanh trục hoành Ox ta được khối nón có đỉnh là gốc O, trục là Ox và đáy là hình tròn bán kính bằng 2 (H.4.25).
a) Tính thể tích V của khối nón.
b) Chứng minh rằng khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là f(x), do đó diện tích mặt cắt là S(x) = πf2(x). Tính \(\pi \int_0^4 {{f^2}\left( x \right)dx}\) và so sánh với V.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có chiều cao của khối nón là h = 4, bán kính đáy của khối nón là R = 2.
Do đó thể tích của khối nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.2^2}.4 = \frac{{16\pi }}{3}\)
b)
Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}x\)
Khi đó diện tích mặt cắt là \(S = \pi {f^2}\left( x \right) = \frac{\pi }{4}.{x^2}\)
Ta có:
\(\pi \int_0^4 {{f^2}\left( x \right)dx} = \pi \int_0^4 {\frac{{{x^2}}}{4}dx}\)\(= \frac{\pi }{4}\int_0^4 {{x^2}dx} = \left. {\left( {\frac{\pi }{4}.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{16\pi }}{3}\)
Vậy \(V = \pi \int_0^4 {{f^2}\left( x \right)dx}\)
--------------------------------------------
Giải SGK Toán 12 trang 22 tập 2 Kết nối tri thức giúp học sinh nắm chắc Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân thông qua lời giải chi tiết và phương pháp trình bày dễ hiểu. Hãy theo dõi thêm các bài Giải SGK Toán 12 KNTT để củng cố kiến thức, nâng cao kỹ năng giải toán và chuẩn bị tốt cho các kỳ kiểm tra, kỳ thi tốt nghiệp THPT.
