Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Chứng minh P(x) > k (<k; ≥ k; ≤ k)(k là hằng số)

Bài tập Toán 9 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách chứng minh P(x) lớn hơn hoặc nhỏ hơn k trong toán 9

Chứng minh P(x) > k, < k, ≥ k, ≤ k là dạng toán quan trọng trong chuyên đề bất đẳng thức Toán 9. Bài viết giúp bạn nắm vững phương pháp và luyện tập hiệu quả qua hệ thống bài tập có đáp án.

A. Phương pháp giải

+) Để chứng minh P(x) >k, ta xét hiệu P(x) –k, sau đó chứng minh P(x) –k > 0

+) Để chứng minh P(x) > A(x), xét hiệu P(x) – A(x) => chứng minh P(x) – A(x) >0

B. Bài tập ví dụ minh họa chứng minh bất phương trình

Ví dụ 1: Cho biểu thức P = $\frac{2\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0,x \neq 1$ . Chứng minh P < 2.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta có P = $\frac{2\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0,x \neq 1$ ,

để chứng minh P < 2, ta xét hiệu

P – 2 = $\frac{2\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} + 1} - 2 = \frac{2\sqrt{x} - 4 - 2(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1} = \frac{- 6}{\sqrt{x} + 1}$

Vì $\sqrt{x} + 1 > 0$ , nên $\frac{- 6}{\sqrt{x} + 1} < 0$ hay P - 2 < 0 => P < 2(đpcm).

* Chú ý: Sai lầm của học sinh trong cách làm này:

Học sinh thường mắc sai lầm trong phần trình bày, đó là:

Để chứng minh P < 2, ta xét hiệu P – 2 < 0

$\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} + 1} - 2 < 0 \Leftrightarrow \frac{2\sqrt{x} - 4 - 2(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1} < 0 \Leftrightarrow \frac{- 6}{\sqrt{x} + 1} < 0$

Vì $\sqrt{x} + 1 > 0$ , nên $\frac{- 6}{\sqrt{x} + 1} < 0$ hay P - 2 < 0 => P < 2(đpcm).

Học sinh đã nhầm sang cách trình bày của dạng 2.

Nhấn mạnh học sinh: Để chứng minh P>k

B1: Xét hiệu P – k => thu gọn P-k

B2. Chứng minh P- k >0.

B3. Kết luận.

Cách 2: Ta có P = $\frac{2\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2(\sqrt{x} + 1) - 6}{\sqrt{x} + 1} = 2 - \frac{6}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0,x \neq 1$ ,

Vì $\frac{6}{\sqrt{x} + 1} > 0$ nên $2 - \frac{6}{\sqrt{x} + 1} < 2.\ \ Hay\ P < 2$ (đpcm)

Ví dụ 2: Cho biểu thức P = $\frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0,x \neq 1$ . Chứng minh P < $\frac{1}{3}$ .

Hướng dẫn giải

Cách 1: Để chứng minh P < $\frac{1}{3}$ , xét hiệu $\frac{1}{3} - P$ = $\frac{(\sqrt{x} - 1)^{2}}{3(x + \sqrt{x} + 1)}$

Vì $x \geq 0 \Rightarrow 3(x + \sqrt{x} + 1) > 0.\ Do\ x \neq 1 \Rightarrow (\sqrt{x} - 1)^{2} > 0 \Rightarrow \frac{1}{3} - P > 0$

Do đó P < $\frac{1}{3}$ (đpcm).

Cách 2. Ta có P = $\frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0,x \neq 1$ .

+) Xét x = 0 ta có P = 0 < $\frac{1}{3}$ (1)

+) Xét x > 0, ta có P = $\frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1}$ = $\frac{1}{\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + 1}$

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương $\sqrt{x},\ \ \frac{1}{\sqrt{x}}$ ta có

$\sqrt{x} + \ \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}} \Leftrightarrow \sqrt{x} + \ \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} + \ \frac{1}{\sqrt{x}} + 1 \geq 3 \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x} + \ \frac{1}{\sqrt{x}} + 1} \leq \frac{1}{3}$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow x = 1$ (không thỏa mãn vì $x \neq 1$ )

=> Trường hợp “=” không xảy ra, do đó P < $\frac{1}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra P < $\frac{1}{3}$ với mọi $x \geq 0,x \neq 1$ .

-------------------------------------

Thành thạo kỹ năng chứng minh bất đẳng thức sẽ giúp bạn xử lý nhanh các bài toán nâng cao trong đề thi vào lớp 10.

Tải về

Chọn file muốn tải về: