Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 9 Toán 9 Chuyên đề Toán 9

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Chuyên đề môn Toán lớp 9
Lớp: Lớp 9
Môn: Toán
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Công thức tìm nghiệm của phương trình bậc 2

Trong chương trình Toán lớp 9, phương trình bậc hai là kiến thức trọng tâm, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và kỳ thi quan trọng. Việc nắm vững công thức nghiệm của phương trình bậc hai không chỉ giúp học sinh giải nhanh các dạng bài tập mà còn tạo nền tảng vững chắc cho việc học Toán ở bậc THPT. Bài viết này sẽ trình bày rõ ràng công thức nghiệm đầy đủ, công thức nghiệm thu gọn, kèm ví dụ minh họa dễ hiểu, giúp bạn tiếp thu kiến thức nhanh chóng và áp dụng hiệu quả.

1. Định nghĩa phương trình bậc 2

+) Phương trình bậc hai một ẩn (hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)

Trong đó a, b, c là các số thực cho trước, x là ẩn số.

+) Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn đó.

2. Công thức nghiệm phương trình bậc 2

Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b2 - 4ac

Tham khảo thêm: Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} và x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là x_1=x_2=\frac{-b}{2a}

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a và c trái dấu, tức là ac < 0. Khi đó ta có Δ = b2 - 4ac > 0 ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

3. Các dạng toán áp dụng Công thức nghiệm phương trình bậc hai

Nhận dạng phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp:

Phương trình bậc hai một ẩn (hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)

Trong đó a, b, c là các số thực cho trước, x là ẩn số.

Giải phương trình bậc 2 bằng cách sử dụng cộng thức nghiệm

Phương pháp:

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} và x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là x_1=x_2=\frac{-b}{2a}

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Bài tập ví dụ minh họa:

Câu 1: Giải phương trình x2 - 5x + 4 = 0

Hướng dẫn giải

+ Tính Δ = (-5)2 - 4.4.1 = 25 - 16 = 9 > 0

+ Do Δ > 0 , phương trình có hai nghiệm là:

x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2.1}=\frac{8}{2}=4 và x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2.1}=\frac{2}{2}=1

Vậy phương trình có hai nghiệm là x1 = 4; x2 = 1

Câu 2: Giải phương trình 5x2 - x + 2 = 0

Hướng dẫn giải

+ Tính Δ = (-1)2 - 4.5.2 = -39 < 0

+ Do Δ < 0, phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 3: Giải phương trình x2 - 4x + 4 = 0.

Hướng dẫn giải

+ Tính Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 16 - 16 = 0.

+ Do Δ = 0, phương trình có nghiệm kép là x1 = x2 = \frac{-4}{2.1} = 2

Vậy phương trình có nghiệm kép là x = 2

Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2

Phương pháp:

Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

+) Phương trình có nghiệm kép ⇔ a ≠ 0 và Δ = 0

+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ a ≠ 0 và Δ > 0

+) Phương trình vô nghiệm ⇔ a ≠ 0; Δ < 0 ⇔ a ≠ 0 và Δ < 0

Bài tập phương trình bậc hai chứa tham số

Câu 1: Cho phương trình x2 + (2m + 1)x + m2 - 1 = 0(1)

a, Tìm m để phương trình có nghiệm

b, Tìm m để phương trình có nghiệm kép

c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

d, Tìm m để phương trình vô nghiệm

Hướng dẫn giải

Phương trình (1) là phương trình bậc hai với :

Δ = b2 - 4ac = (2m + 1)2 - 4.(m2 - 1)

= 4m2 + 4m + 1 - 4m2 + 4 = 4m + 5

a, Để phương trình (1) có nghiệm

⇔ Δ ≥ 0 ⇔ 4m + 5 ≥ 0 ⇔ m ≥ -5/4

b, Để phương trình (1) có nghiệm kép

⇔ Δ = 0 ⇔  4m + 5 = 0 ⇔ m = -5/4

c, Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔ Δ > 0 ⇔ 4m + 5 > 0 ⇔ m > -5/4

d, Để phương trình (1) vô nghiệm

⇔ Δ < 0 ⇔ 4m + 5 < 0 ⇔ m < -5/4.

Câu 2: Cho phương trình mx2 + 2(m + 1)x + m - 2 = 0 với m là tham số. Tìm giá trị tham số m để:

a) Phương trình có nghiệm kép.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Phương trình có nghiệm duy nhất.

d) Phương trình vô nghiệm.

e) Phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình có nghiệm kép.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 4m + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m = - \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 4m + 1 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m > - \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.

c) Phương trình có nghiệm duy nhất.

\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b' \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 0 \\ m + 1 \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 0 \\ \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 4m + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.

d) Phương trình vô nghiệm.

\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0;b' = 0;c \neq 0 \\ a \neq 0;\Delta' < 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0;m + 1 = 0;m - 2 \neq 0 \\ m \neq 0,4m + 1 < 0 \\ \end{matrix} \right.

\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0;m = - 1;m \neq 2 \\ m \neq 0,m < \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}

e) Phương trình vô nghiệm.

\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = b' = c = 0 \\ a = 0;b' \neq 0 \\ a \neq 0;\Delta' \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = m + 1 = m + 2 = 0 \\ m = 0;m + 1 \neq 0 \\ m \neq 0;4m + 1 \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \geq - \frac{1}{4}

Câu 3: Với giá trị nào của tham số m thì mỗi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt? Tính nghiệm của phương trình theo m:

a) x2 - x + m - 2 = 0 b) -2x2 + 3x + m - 3 = 0
c) 3x2 - 2x + m - 5 = 0 d) x2 - 8x + m2 = 0

Hướng dẫn giải

a) Với m < \frac{9}{4} thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = \frac{1 + \sqrt{9 - 4m}}{2} \\ x_{2} = \frac{1 - \sqrt{9 - 4m}}{2} \\ \end{matrix} \right..

b) Với m > \frac{15}{8} thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = \frac{3 + \sqrt{8m - 15}}{4} \\ x_{2} = \frac{3 - \sqrt{8m - 15}}{4} \\ \end{matrix} \right..

c) Với m < \frac{16}{3} thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = \frac{1 + \sqrt{16 - 3m}}{3} \\ x_{2} = \frac{1 - \sqrt{16 - 3m}}{3} \\ \end{matrix} \right..

d) Với -4 < m < 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 4 + \sqrt{16 - m^{2}} \\ x_{2} = 4 - \sqrt{16 - m^{2}} \\ \end{matrix} \right..

Câu 4: Với giá trị nào của tham số m thì mỗi phương trình sau có nghiệm kép? Tính nghiệm của phương trình theo m:

a) 2x2 - mx + 2 = 0 b) (m - 1)x2 + 2x + 3 = 0

Hướng dẫn giải

a) Với m = 4 phương trình có nghiệm kép x_{1} = x_{2} = \frac{m}{4} = \frac{4}{4} = 1

Với m = -4 phương trình có nghiệm kép x_{1} = x_{2} = \frac{m}{4} = \frac{- 4}{4} = - 1

b) Với m = 4/3 phương trình có nghiệm kép x_{1} = x_{2} = \frac{- 1}{m - 1} = \frac{- 1}{\frac{4}{3} - 1} = - 3.

Câu 5: Cho hàm số y = f(x) = x2 - 2(m - 1)x + m.

a. Vẽ đồ thị hàm số khi m = 0

b. Tìm m để f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

Hướng dẫn giải

a. Học sinh tự thực hành

b. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 khi

\left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ (x_{1} - 1)(x_{2} - 1) > 0 \\ x_{1} - 1 + x_{2} - 1 > 0 \end{matrix} \right.\Rightarrow \frac{3 + \sqrt{5}}{2} < m < 3

Câu 6: Cho parabol (P): y = x2 + 3x – 4 và đường thẳng d: x – y – 3m = 0. Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thuộc đoạn [-2; 3].

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): x2 + 2x + 3m – 4 = 0 (*)

\Rightarrow (*) cũng là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số y = x2 + 2x – 4 và y = -3m

Vẽ bảng biến thiên của hàm số y = x2 + 2x – 4 trên đoạn [-2; 3]

Lập luận và dựa vào bảng biến thiên để có - 5 < - 3m \leq - 4 \Leftrightarrow \frac{4}{3} \leq m < \frac{5}{3}

Kết luận 4/3 ≤ m < 5/3.

Câu 7: Tìm m để đường thẳng d: y = 2x - 3 cắt parabol (P): y = x2 + mx + 1 tại hai điểm A, B sao cho AB = 5.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm

x2 + mx + 1 = 2x - 3 ⇔ x2 + (m - 2)x + 4 = 0

Điều kiện để cắt tại 2 điểm A, B:

Δ > 0 => m2 - 4m -12 > 0 ⇔ m< -2 hoặc m > 6

Ta có: AB = 5  => (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 = 25

⇔ 5(x2 - x1)2 = 25 ⇔ (S2 - 4P) = 5 ⇔ (m - 2)2 - 16 = 5

 ⇔ (m - 2)2 = 21 \Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt{21}\(\Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt{21}\)

Câu 8: Cho hàm số: y = x2 - 1 (P).

a. Khảo sát chiều biến thiên và vẽ đồ thị (P)

b. Xác định điểm M thuộc (P) để OM ngắn nhất.

c. Chứng minh rằng: Khi OM ngắn nhất thì đường thẳng OM vuông góc với tiếp tuyến tại M của (P).

Hướng dẫn giải

a. Học sinh tự thực hành

b. + M \in (P) \Rightarrow M(m;m^{2} - 1)

+ OM = \sqrt{m^{2} + (m^{2} - 1)^{2}} ngắn nhất

+ m2 + (m2 - 1)2 nhỏ nhất

+ m^{4} - m^{2} + 1 = (m^{2} - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} nhỏ nhất

Khi và chỉ khi : m^{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}

+ Có 2 điểm M cần tìm là: M_{1}(\frac{1}{\sqrt{2}}; - \frac{1}{2});M_{2}( - \frac{1}{\sqrt{2}}; - \frac{1}{2})

Tại điểm M1

+Tìm được hệ số góc của đường thẳng OM_{1} : k =- \frac{1}{\sqrt{2}}

+ Tìm được hệ số góc của tiếp tuyến tại đểm M_{1} là k' = \sqrt{2}

+ Suy ra được : k.k' = -1

+ Tương tự tại điểm M2.

--------------------------------------------------------------------------

FAQ – Công Thức Nghiệm Của Phương Trình Bậc Hai

1. Công thức nghiệm thu gọn được sử dụng khi nào?

Công thức nghiệm thu gọn thường được áp dụng khi hệ số b của phương trình là số chẵn.

Việc sử dụng công thức này giúp rút ngắn quá trình tính toán và hạn chế sai sót khi giải bài tập.

2. Những dạng bài tập phương trình bậc hai thường gặp là gì?

Các dạng bài phổ biến gồm:

  • Giải phương trình bằng công thức nghiệm.
  • Giải bằng công thức nghiệm thu gọn.
  • Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
  • Tìm tham số để phương trình có nghiệm đặc biệt.
  • Ứng dụng hệ thức Viète.

Đây là các dạng toán trọng tâm trong chương trình Toán 9.

3. Những lỗi thường gặp khi áp dụng công thức nghiệm là gì?

Một số sai lầm phổ biến gồm:

  • Tính sai Delta.
  • Thay nhầm hệ số a, b, c.
  • Sai dấu trong công thức.
  • Rút gọn căn thức chưa chính xác.
  • Kết luận sai số nghiệm của phương trình.

Học sinh nên kiểm tra lại từng bước tính toán để tránh mất điểm.

4. Làm thế nào để học tốt chuyên đề phương trình bậc hai?

Để học hiệu quả, học sinh nên:

  • Ghi nhớ công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn.
  • Thành thạo cách tính Delta.
  • Luyện tập nhiều bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
  • Kết hợp sử dụng hệ thức Viète.
  • Thực hành các đề ôn thi vào lớp 10 có đáp án chi tiết.

Đây là phương pháp giúp nâng cao tốc độ và độ chính xác khi làm bài.

--------------------------------------------------------

Trên đây là toàn bộ kiến thức về công thức nghiệm của phương trình bậc hai trong chương trình Toán 9, bao gồm cả công thức nghiệm đầy đủ và công thức nghiệm thu gọn, kèm ví dụ minh họa chi tiết.

Việc học thuộc và vận dụng thành thạo công thức này sẽ giúp bạn giải quyết nhanh gọn nhiều dạng bài toán, từ cơ bản đến nâng cao. Hãy kết hợp lý thuyết với luyện tập bài tập thực tế để củng cố kỹ năng và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi.

Nếu thấy tài liệu này hữu ích, đừng quên chia sẻ cho bạn bè và lưu lại để ôn tập bất cứ khi nào cần.

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
40
92.866 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
1 Bình luận
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
  • Lan Nguyen
    Lan Nguyen

    kiến thức bổ ích 
    Thích Phản hồi 12/03/22
Tìm bài trong mục này