Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng hình học

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - Dạng Toán hình học

I. Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng hình học
II. Bài tập giải toán bằng cách lập phương trình dạng hình học
III. Bài tập về giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng hình học

Trong chương trình Toán học phổ thông, việc vận dụng kiến thức hình học để lập phương trình, hệ phương trình là một kỹ năng quan trọng giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Phương pháp này không chỉ giúp tìm ra lời giải một cách chính xác mà còn giúp người học hiểu sâu sắc hơn về mối quan hệ giữa đại số và hình học.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng hình học, kèm theo ví dụ minh họa cụ thể để dễ dàng áp dụng vào thực tế học tập. Tài liệu được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hơn. Mời các bạn tham khảo.

I. Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng hình học

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Bước 1: Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn

Bước 2: Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn

Bước 3: Dựa vào các dữ kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình

Bước 4: Giải phương trình hoặc hệ phương trình

Bước 5: So sánh kết quả bài toán, tìm kết quả thích hợp và kết luận

2. Các công thức cần nhớ khi giải bài toán dạng hình học

+ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

+ Công thức tính diện tích hình tam giác, hình chữ nhật, hình thoi, hình tròn,…

+ Định lý Pytago

3. Công thức hình học

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

Với tam giác

$S = \frac{1}{2}a.h;C = a + b + c$

Độ dài cạnh huyền $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ (xét trong tam giác vuông và là cạnh huyền).

Trong đó:

S là diện tích tam giác $km^{2};cm^{2};...$ ; là độ dài các cạnh của tam giác, đơn vị là: ; là chu vi tam giác đơn vị là

Với hình vuông:

$S = a^{2};C = 4a$

Trong đó:

là độ dài cạnh hình vuông đơn vị là

Với hình chữ nhật

Trong đó:

là kích thước chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật đơn vị là

Với hình thang

$S = \frac{1}{2}(a + b).h$

Trong đó:

là độ dài đáy hình thang đơn vị là

là chiều cao hình thang đơn vị là

Với hình hình hành:

Trong đó:

là độ dài đáy hình bình hành đơn vị là

là chiều cao tương ứng với cạnh đáy hình bình hành đơn vị là

Với hình thoi

$S = \frac{1}{2}b.c;C = 4a$

Trong đó:

là độ dài cạnh hình thoi đơn vị là

là độ dài hai đường chéo hình thoi đơn vị là

Với đa giác: Số đường chéo có công thức

$\frac{{n(n - 3)}}{2}$

II. Bài tập giải toán bằng cách lập phương trình dạng hình học

Bài 1: Một hình chữ nhật có chu vi bằng 400cm. Nếu tăng chiều dài thêm 6cm và giảm chiều rộng 6cm thì diện tích giảm 276cm². Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

Lời giải:

* Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Nửa chu vi của hình chữ nhật bằng 400 : 2 = 200cm

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (cm, x > 0)

Chiều rộng của hình chữ nhật là 200 – x (cm)

Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là: x(200 – x) (cm²)

Tăng chiều dài thêm 6cm được chiều dài có độ dài bằng x + 6 (cm)

Giảm chiều rộng đi 6cm được chiều rộng có độ dài bằng 200 – x – 6 = 194 – x (cm)

Nếu tăng chiều dài thêm 6cm và giảm chiều rộng 6cm thì diện tích giảm 276cm² nên ta có phương trình:

$x\left( {200 - x} \right) - \left( {x + 6} \right)\left( {194 - x} \right) = 276$

Giải phương trình tính được x = 120 (thỏa mãn)

Suy ra chiều rộng của hình chữ nhật là 200 – 120 = 80 (cm)

Vậy chiều dài của hình chữ nhật bằng 120cm và chiều rộng bằng 80cm

* Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Nửa chu vi của hình chữ nhật bằng 400 : 2 = 200cm

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là a (cm, 0 < a < 200)

Chiều rộng của hình chữ nhật là b (cm, 0 < b < 200)

Nửa chu vi của hình chữ nhật bằng 200cm nên ta có phương trình a + b = 200 (1)

Nếu tăng chiều dài thêm 6cm và giảm chiều rộng 6cm thì diện tích giảm 276cm² nên ta có phương trình: ab – (a + 6)(b – 6) = 276 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được a = 120 (thỏa mãn) và b = 80 (thỏa mãn)

Vậy chiều dài của hình chữ nhật bằng 120cm và chiều rộng của hình chữ nhật bằng 80cm

Bài 2: Cạnh bé nhất của một tam giác vuông có độ dài là 12cm. Cạnh huyền có độ dài lớn hơn cạnh góc vuông còn lại 4cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó.

Lời giải:

* Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Gọi độ dài cạnh huyền của hình tam giác là x (x > 12, cm)

Độ dài cạnh góc vuông còn lại của hình tam giác là x – 4 (cm)

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông, ta có phương trình

Giải phương trình tính được x = 20 (thỏa mãn)

Vậy độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng 20cm

* Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Gọi độ dài cạnh huyền của hình tam giác là a (a > 12, cm)

Độ dài cạnh góc vuông còn lại của hình tam giác là b (b > 0, cm)

Theo đề bài, cạnh huyền có độ dài lớn hơn cạnh góc vuông còn lại 4cm nên ta có phương trình a – b = 4 (1)

Theo định lý Pytago ta có phương trình: (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} a + b = 200\\ ab - \left( {a + 6} \right)\left( {b - 6} \right) = 276 \end{array} \right.$

Giải hệ phương trình ta được a = 20 (thỏa mãn) và b = 16 (thỏa mãn)

Vậy độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó là 20cm.

Bài 3: Nhà bạn Dũng được ông bà ngoại cho một mảnh đất hình chữ nhật. Khi bạn Nam đến nhà Dũng chơi, Dũng đố Nam tìm ra kích thước của mảnh đất khi biết: mảnh đất có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng và nếu giảm chiều rộng đi 2m, tăng chiều dài lên gấp đôi thì diện tích mảnh đất đó tăng thêm $20m^{2}$ . Các em hãy giúp bạn Nam tìm ra chiều dài và chiều rộng của mảnh đất nhà bạn Dũng.

Lời giải:

* Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Gọi chiều rộng của mảnh đất là x(m) (điều kiện x > 2)

Khi đó chiều dài của mảnh đất là 4x (m)

Diện tích mảnh đất nhà bạn Dũng là 4x² (m²)

Diện tích mảnh đất sau khi giảm chiều rộng 2m và tăng chiều dài lên gấp đôi là 8x.(x – 2) (m²)

Theo bài ra ta có phương trình 8x(x – 2) – 4x² = 20

=> Giải phương trình ra được x = 5 (thỏa mãn) hoặc x = -1(loại)

Vậy chiều rộng của mảnh đất là 5m và chiều dài của mảnh đất là 20m.

Bài 4: Ông của Khôi sở hữu mảnh đất hình chữ nhật có chu vi . Ông định bán mảnh đất với giá thị trương là 15 triệu đồng cho một mét vuông. Hãy xác định giá tiền của mảnh đất biết chiều dài gấp bốn lần chiều rộng.

Lời giải:

* Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Gọi chiều rộng của mảnh đất là x(m) (điều kiện 0 < x < 50)

Khi đó chiều dài của mảnh đất là 4x (m)

Chu vi mảnh đất là 100m:

(x + 4x).2 = 100

=> x = 10

Vậy chiều rộng của mảnh đất là 10m, chiều dài của mảnh đất là 40m

Diện tích của mảnh đất là 40.10 = 400(m²)222

Giá tiền của mảnh đất đó là:

400 . 15 000 000 = 6 000 000 000 (đồng) = 6 tỷ đồng.

Bài 5: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi . Nếu giảm chiều dài đi và tăng chiều rộng thêm thì diện tích giảm đi $14m^{2}$ . Tính diện tích của mảnh vườn.

Lời giải:

* Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là

Điều kiện

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x + y = 59 \\ (x - 5)(y + 3) = xy - 14 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 59 - x \\ (x - 5)(y + 3) = xy - 14 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 59 - x \\ (x - 5)(59 - x + 3) = x(59 - x) - 14 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 59 - x \\ 8x = 296 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 59 - x \\ x = 37 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 22 \\ x = 37 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy diện tích hình chữ nhật là $37.22 = 814m^{2}$

Bài 6: Một hình thang có diện tích $96cm^{2}$ , chiều cao . Tính độ dài cạnh đáy của hình thang, biết rằng chúng hơn kém nhau .

Lời giải:

* Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Gọi độ dài đáy lớn là x (cm) độ dài cạnh bé là y(cm)

Điều kiện

Ta có hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix}\dfrac{(x + y).8}{2} = 96 \\x - y = 10 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 17 \\y = 7 \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy độ dài đáy lớn là 17cm và độ dài đáy bé là 7cm.

Bài 7: Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40 cm², biết rằng nếu tăng mỗi kích thước thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm².

Lời giải:

Gọi các kích thước của hình chữ nhật lần lượt là x và y (cm; x, y > 0).

Diện tích hình chữ nhật lúc đầu là x.y (cm²). Theo bài ra ta có phương trình : x.y = 40 (1)

Khi tăng mỗi chiều thêm 3 cm thì diện tích hình chữ nhật là.

Theo bài ra ta có phương trình

(x + 3)(y + 3) – xy = 48 3x + 3y + 9 = 48 x + y = 13(2)

Từ (1) và (2) suy ra x và y là nghiệm của pt X² – 13 X + 40 = 0

Ta có $\Delta = ( - 13)^{2} - 4.40 = 9 > 0 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 3$

Phương trình có hai nghiệm $X_{1} = \frac{13 + 3}{2} = 8;X_{2} = \frac{13 - 3}{2} = 5$

Vậy các kích thước của hình chữ nhật là 5 (cm) và 8 (cm)

Bài 8: Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 5 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 1m. Tính các cạnh góc vuông của tam giác?

Lời giải:

Gọi cạnh góc vuông thứ nhất là x (m) (5 > x > 0)

Cạnh góc vuông thứ hai là x + 1 (m)

Vì cạnh huyền bằng 5m nên theo định lý pi – ta – go ta có phương trình

x² + (x + 1)² = 5² $\Leftrightarrow 2x^{2} + 2x - 24 \Leftrightarrow x^{2} + x - 12 = 0$

$\Delta = 1^{2} - 4.( - 12) = 49 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 7$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- 1 + 7}{2} = 3\ (TM);x_{2} = \frac{- 1 - 7}{2} = - 4(KTM)$

Vậy kích thước các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 3m và 4 m.

III. Bài tập về giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng hình học

Giải các bài toán dưới đây bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Bài 1. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là $250\ m$ và diện tích là $3750\ m^{2}$ . Tính chiều dài và chiều rộng của thửa ruộng đó.

Bài 2. Một khu đất trồng hoa lúc đầu hình chữ nhật có chiều dài 6,6 (m), người trồng hoa muốn mở rộng thêm về phía chiều rộng một hình vuông có cạnh (m) để được khu đất có diện tích 34 (m²). Tìm chu vi của khu đất trồng hoa lúc sau?

Bài 3. Bác Năm mới mua miếng đất hình vuông có diện tích $3600\ m^{2}$ . Bác tính làm hàng rào bằng dây kẽm gai hết tất cả $5\ 000\ 000$ đồng, bao gồm cả chi phí dây kẽm và tiền công làm. Gọi là giá mỗi mét dây kẽm , là số tiền công làm hàng rào.

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.

Tải về

Chọn file muốn tải về: