Bài tập chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
Chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong đường tròn
Chứng minh ba đường thẳng đồng quy là một dạng toán hình học quan trọng trong chuyên đề Đường tròn Toán 9 và thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Dạng bài này đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức về đường tròn, tứ giác nội tiếp, tiếp tuyến và các định lý hình học cơ bản. Bài viết tổng hợp những phương pháp chứng minh đồng quy thường gặp cùng hệ thống bài tập có đáp án chi tiết giúp học sinh rèn luyện tư duy và nâng cao kỹ năng giải toán hình học.
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S.
-
Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp .
-
Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.
-
Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy.
-
Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.
-
Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.
Hướng dẫn giải:
1. Ta có ∠ CAB = 900 (vì tam giác ABC vuông tại A); ∠ MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ∠ CDB = 900 như vậy D và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 900 nên A và D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp.
2. ABCD là tứ giác nội tiếp => ∠D1= ∠C3( nội tiếp cùng chắn cung AB).
∠D1= ∠ C3 => cung SM = cung EM => ∠C 2 = ∠C3 (hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung bằng nhau)
=> CA là tia phân giác của góc SCB.
3. Xét tam giác CMB
Ta có BA ⊥ CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC như vậy BA, EM, CD là ba đường cao của tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy.
4. Theo trên ta có: cung SM = cung EM => ∠ D1= ∠ D2 => DM là tia phân giác của góc ADE.(1)
5. Ta có ∠ MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => ∠ MEB = 900.
Tứ giác AMEB có ∠ MAB = 900; ∠ MEB = 900 => ∠ MAB + ∠ MEB = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp một đường tròn => ∠ A2 = ∠ B2.
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => ∠ A1= ∠ B2( nội tiếp cùng chắn cung CD)
=> ∠ A1= ∠ A2 => AM là tia phân giác của góc DAE (2)
Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE
TH2 (Hình b)
∠ ABC = ∠ CME (cùng phụ ∠ ACB); ∠ ABC = ∠ CDS (cùng bù ∠ ADC) => ∠ CME = ∠ CDS
=> cung CE = cung CS => cung SM = cung EM => ∠ SCM = ∠ ECM => CA là tia phân giác của góc SCB.
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường th ẳ ng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F, G. Chứng minh:
1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.
2. Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp.
3. AC // FG.
4. Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy.
Hướng dẫn giải:
1. Xét hai tam giác ABC và EDB
Ta có ∠ BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); ∠ DEB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> ∠DEB = ∠BAC = 900; lại có ∠ ABC là góc chung => ΔDEB ∼ Δ CAB.
2. Theo trên ∠DEB = 900 => ∠DEC = 900 (vì hai góc kề bù); ∠BAC = 900 (vì tam giác ABC vuông tại A) hay ∠DAC = 900 => ∠DEC + ∠DAC = 1800 mà đây là hai góc đối nên ADEC là tứ giác nội tiếp.
∠BAC = 900 (vì tam giác ABC vuông tại A); ∠DFB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) hay ∠ BFC = 900 như vậy F và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 900 nên A và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => AFBC là tứ giác nội tiếp.
3. Theo trên ADEC là tứ giác nội tiếp => ∠E1 = ∠C1 lại có ∠E1 = ∠F1 => ∠F1 = ∠C1 mà đây là hai góc so le trong nên suy ra AC // FG.
4. (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đường cao của tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy tại S.
Bài 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B); trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC.
-
Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp .
-
Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I.
-
Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp .
Hướng dẫn giải:
1. Ta có: ∠ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )
=> ∠MCI = 900 (vì là hai góc kề bù).
∠ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )
=> ∠MDI = 900 (vì là hai góc kề bù).
=> ∠MCI + ∠MDI = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MCID nên MCID là tứ giác nội tiếp.
2. Theo trên ta có BC ⊥ MA; AD ⊥ MB nên BC và AD là hai đường cao của tam giác MAB mà BC và AD cắt nhau tại I nên I là trực tâm của tam giác MAB. Theo giả thiết thì MH ⊥ AB nên MH cũng là đường cao của tam giác MAB => AD, BC, MH đồng quy tại I.
3. Tam giác OAC cân tại O ( vì OA và OC là bán kính) => ∠A1 = ∠C4
Tam giác KCM cân tại K ( vì KC và KM là bán kính) => ∠ M1 = ∠C1.
Mà ∠A1 + ∠M1 = 900 (do tam giác AHM vuông tại H) => ∠C1 + ∠C4 = 900 => ∠C3 + ∠C2 = 900 (vì góc ACM là góc bẹt) hay ∠OCK = 900.
Xét tứ giác KCOH
Ta có ∠OHK = 900; ∠OCK = 900 => ∠OHK + ∠OCK = 1800 mà ∠OHK và ∠OCK là hai góc đối nên KCOH là tứ giác nội tiếp.
---------------------------------
Chuyên đề chứng minh ba đường thẳng đồng quy giúp học sinh phát triển tư duy logic, khả năng suy luận và kỹ năng chứng minh hình học chặt chẽ. Việc luyện tập thường xuyên các dạng bài đồng quy trong đường tròn sẽ giúp học sinh nhận diện nhanh hướng giải, nâng cao khả năng xử lý bài toán vận dụng và tự tin đạt kết quả cao trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10.
