Bài tập chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn

Chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn là dạng toán trọng tâm trong chuyên đề Đường tròn Toán 9 và thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để giải tốt dạng toán này, học sinh cần nắm vững các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, tính chất góc và các phương pháp chứng minh hình học thường gặp. Bài viết tổng hợp lý thuyết, phương pháp giải cùng hệ thống bài tập vận dụng giúp học sinh tự tin chinh phục các câu hỏi hình học từ cơ bản đến nâng cao.

A. Bài tập chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn

Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P.

Chứng minh rằng:

1. Tứ giác CEHD, nội tiếp.

2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.

3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.

4. H và M đối xứng nhau qua BC.

5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Bài 2 . Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.

1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp.

2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

3. Chứng minh ED = 1/2 BC.

4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

5. Tính độ dài DE biết DH = 2 cm, AH = 6 cm.

Bài 3. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK.

1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.

2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

3. Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm.

Bài 4. Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì (M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC  MB, BD  MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.

1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.

2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.

3. Chứng minh OI.OM = R ² ; OI. IM = IA ² .

4. Chứng minh OAHB là hình thoi.

5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.

6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d

Bài 5. Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn sao cho AM < MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P là chân đường vuông góc từ S đến AB.

1. Gọi S’ là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng ∆ PS’M cân.

2.Chứng minh PM là tiếp tuyến của đường tròn.

Bài 6. Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn tại M.

1. Chứng minh OM vuông góc với BC.

2. Chứng minh M² = MI.MA.

3. Kẻ đường kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt đường thẳng AN tại P và Q. Chứng minh bốn điểm P, C , B, Q cùng thuộc một đường tròn.

Bài 7. Cho đường tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đường kính đi qua điểm C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O’) là F, BD cắt (O’) tại G. Chứng minh rằng:

1. Tứ giác MDGC nội tiếp.
2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn
3. Tứ giác ADBE là hình thoi.
4. B, E, F thẳng hàng
5. DF, EG, AB đồng quy.
6. MF = 1/2 DE.
7. MF là tiếp tuyến của (O’).

Bài 8. Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn tại M.

1. Chứng minh OM vuông góc với BC.
2. Chứng minh MC²= MI.MA.
3. Kẻ đường kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt đường thẳng AN tại P và Q. Chứng minh bốn điểm P, C , B, Q cùng thuộc một đường tròn.

Bài 9. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O)và AB <AC. Các đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng MN và CB. Đường thẳng AP cắt đường tròn (O) tại K (K khác A).

1. Chứng minh tứ giác BNCM là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh PB.PC = PN.PM và tam giác PKN đồng dạng với tam giác PMA
3. Gọi Ilà trung điểm củaBC. Chứng minh ba điểm K; H; I thẳng hàng.

Bài 10. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm). Một đường thẳng d thay đổi đi qua A luôn cắt đường tròn tại hai điểm D và E (D thuộc cung nhỏ BC và cung BD lớn hơn cung CD). GọiI là trung điểm của DE. H là giao điểm của AO và BC.

1) Chứng minh năm điểm A,B, C, O, I cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh AH.AO = AD.AE = 3R².

3) Chứng minh HC là tia phân giác của .

4) Gọi G là trọng tâm ABDE. Chứng minh khi đường thẳng d thay đổi thì G luôn chạy trên một đường tròn cố định.

B. Hướng dẫn giải bài tập chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn

Bài 1.

a. Xét tứ giác CEHD ta có:

 \(\widehat {CEH} = {90^0}\)(Vì BE là đường cao)\(\widehat {DHE}\) 

 \(\widehat {CDH} = {90^0}\)(Vì AD là đường cao)

\(\Rightarrow \widehat {CEH} + \widehat {CDH} = {180^0}\)

Mà \(\widehat {CEH};\widehat {CDH}\)  là hai góc đối của tứ giác CEHD, 

Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp

b. Theo giả thiết: BE là đường cao\(\Rightarrow BE \bot AC \Rightarrow \widehat {BEC} = {90^0}\)

CF là đường cao \(\Rightarrow CF \bot AB \Rightarrow \widehat {BFC} = {90^0}\)

Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 90 ⁰ => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.

Vậy bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

c. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: \(\widehat {AEH} = \widehat {ADC} = {90^0}\) ; Â là góc chung

=> \(\Delta AEH \sim \Delta ADC\)=> AE/ AD = AH/AC => AE.AC = AH.AD.

* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có:\(\widehat {BEC} = \widehat {ADC} = {90^0}\); C là góc chung

=> \(\Delta BEC \sim \Delta ADC\) => BE/AD=BC/AC => AD.BC = BE.AC.

d. Ta có \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\)  (vì cùng phụ với góc ABC)

 \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_2}}\)(vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

=>\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\)=> CB là tia phân giác của góc HCM; lại có \(CB \bot HM\) => Tam giác CHM cân tại C

=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.

e . Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn

=>\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{E_1}}\)  (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)

Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp

 \(\Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{E_2}}\)(vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)

 \(\Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}}\)=> EB là tia phân giác của góc FED.

Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Bài 2.

a. Xét tứ giác CEHD ta có:

 \(\widehat {CEH} = {90^0}\)(Vì BE là đường cao)

 \(\widehat {CDH} = {90^0}\)(Vì AD là đường cao)

\(\Rightarrow \widehat {CEH} + \widehat {CDH} = {180^0}\)

Mà \(\widehat {CEH};\widehat {CDH}\)  là hai góc đối của tứ giác CEHD

Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp.

📄 Do dung lượng nội dung lớn, tài liệu chi tiết được cung cấp dưới dạng file tải về.

-------------------------

Chuyên đề chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về đường tròn và tứ giác nội tiếp mà còn rèn luyện tư duy chứng minh hình học chặt chẽ. Việc luyện tập thường xuyên các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao sẽ giúp nâng cao kỹ năng giải toán, tăng khả năng nhận diện hướng làm bài và đạt kết quả cao trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10.