Bất đẳng thức Bernoulli
Bất đẳng thức Bernoulli lớp 9 có ví dụ minh họa
Trong chuyên đề bất đẳng thức Toán 9, bất đẳng thức Bernoulli là một công cụ quan trọng giúp học sinh xử lý nhiều bài toán chứng minh và đánh giá biểu thức. Việc nắm vững định lý, điều kiện áp dụng và các dạng bài tập liên quan sẽ giúp nâng cao tư duy toán học cũng như hỗ trợ hiệu quả cho quá trình ôn thi vào lớp 10.
Công thức bất đẳng thức Bernouli
Dạng nguyên thủy
Cho 
\(a \geqslant - 1;1 \leqslant n \in \mathbb{Z}\) thì . Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left[ \begin{gathered}
a = 0 \hfill \\
n = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Dạng mở rộng:
- Cho a > -1, \(\alpha \ge 1\) thì \({\left( {1 + a} \right)^n} \geqslant 1 + na\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
- Cho \(a \geqslant - 1,0 < \alpha < 1\) thì \({\left( {1 + a} \right)^\alpha } \leqslant 1 + na\). Dấu bằng xảy ra khi va chỉ khi \(\left[ \begin{gathered}
a = 0 \hfill \\
\alpha = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Ví dụ minh họa bất đẳng thức Bernouli
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng \({a^b} + {b^a} > 1,\forall a,b > 0\).
Hướng dẫn giải
- Nếu \(a \geqslant 1\) hay \(b \geqslant 1\) thì BĐT luôn đúng
- Nếu 0 < a,b < 1
Áp dụng BĐT Bernouli:
\({\left( {\frac{1}{a}} \right)^b} = {\left( {1 + \frac{{1 - a}}{a}} \right)^b} < 1 + \frac{{b\left( {1 - a} \right)}}{a} < \frac{{a + b}}{a}\)\(\Rightarrow {a^b} > \frac{a}{{a + b}}.\)
Chứng minh tương tự: \({b^a} > \frac{b}{{a + b}}\). Suy ra \({a^b} + {b^a} > 1\) (đpcm).
Ví dụ 2: Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng
\(\frac{{{a^5} + {b^5} + {c^5}}}{3} \geqslant {\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^5}\). (1)
Hướng dẫn giải
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3a}}{{a + b + c}}} \right)^5} + {\left( {\frac{{3b}}{{a + b + c}}} \right)^5} + {\left( {\frac{{3c}}{{a + b + c}}} \right)^5} \geqslant 3\)
Áp dụng BĐT Bernouli:
\({\left( {\frac{{3a}}{{a + b + c}}} \right)^5} = {\left( {1 + \frac{{b + c - 2a}}{{a + b + c}}} \right)^5} \geqslant 1 + \frac{{5\left( {b + c - 2a} \right)}}{{a + b + c}}\)(2)
Chứng minh tương tự ta đuợc:
\({\left( {\frac{{3b}}{{a + b + c}}} \right)^5} \geqslant 1 + \frac{{5\left( {c + a - 2b} \right)}}{{a + b + c}}\) (3)
\({\left( {\frac{{3c}}{{a + b + c}}} \right)^5} \geqslant 1 + \frac{{5\left( {a + b - 2c} \right)}}{{a + b + c}}\)(4)
Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có
\({\left( {\frac{{3a}}{{a + b + c}}} \right)^5} + {\left( {\frac{{3b}}{{a + b + c}}} \right)^5} + {\left( {\frac{{3c}}{{a + b + c}}} \right)^5} \geqslant 3 \Rightarrow\)(đpcm)
Chú ý: ta có bài toán tổng quát sau đây:
“Cho \({a_1},{a_2},...{a_n} > 0;r \geqslant 1.\)
Chứng minh rằng \(\frac{{a_1^r + a_2^r + .... + a_n^r}}{n} \geqslant {\left( {\frac{{{a_1} + {a_2} + .... + {a_n}}}{n}} \right)^r}\).
Dấu ‘=’ \(\Leftrightarrow {a_1} = {a_2} = .... = {a_n}\).(chứng minh tương tự bài trên).
Ví dụ 3: Cho \(0 \leqslant x,y,z \leqslant 1\). Chứng minh rằng
\(\left( {{2^x} + {2^y} + {2^z}} \right)\left( {{2^{ - x}} + {2^{ - y}} + {2^{ - z}}} \right) \leqslant \frac{{81}}{8}\).
Hướng dẫn giải
Đặt \(a = {2^x},b = {2^y},c = {2^z}\,\,\,\,\,\left( {1 \leqslant a,b,c \leqslant 2} \right)\).
\(1 \leqslant a \leqslant 2\,\, \Rightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {a - 2} \right) \leqslant 0\)
\(\, \Rightarrow {a^2} - 3a + 2 \leqslant 0 \Rightarrow a + \frac{2}{a} \leqslant 3\,\,\,\,\,(1)\)
Chứng minh tương tự:
\(\begin{gathered}
b + \frac{2}{b} \leqslant 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \\
c + \frac{2}{c} \leqslant 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \hfill \\
\end{gathered}\)
Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta được
\(9 \geqslant \left( {a + b + c} \right) + 2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\mathop \geqslant \limits^{cauchy} 2\sqrt {\left( {a + b + c} \right)2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)}\)
\(\Rightarrow \frac{{81}}{8} \geqslant (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \Rightarrow (dpcm)\)
Chú ý: Bài toán tổng quát dạng này
“ Cho n số \({x_1},{x_2},....,{x_n} \in \left[ {a,b} \right]\,,c > 1\)
Ta luôn có:
\(\left( {{c^{{x_1}}} + {c^{{x_2}}} + .... + {c^{{x_n}}}} \right)\left( {{c^{ - {x_1}}} + {c^{ - {x_2}}} + .... + {c^{ - {x_n}}}} \right) \leqslant \frac{{{{\left[ {n\left( {{c^a} + {c^b}} \right)} \right]}^2}}}{{4{c^{a + b}}}}\)"
----------------------------
FAQ
Bất đẳng thức Bernoulli là gì?
Bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức nổi tiếng trong đại số, thường được sử dụng để so sánh lũy thừa và đánh giá giá trị của biểu thức. Đây là nền tảng cho nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức nâng cao.
Công thức của bất đẳng thức Bernoulli như thế nào?
Với số thực (x > -1) và số nguyên (\(n \ge 1\)), ta có:
\({(1 + x)^n} \geqslant 1 + nx\)
Dấu bằng xảy ra khi (x=0) hoặc (n=1).
Bất đẳng thức Bernoulli có xuất hiện trong chương trình Toán 9 không?
--------------------------------
Bất đẳng thức Bernoulli là một công cụ hữu ích trong chuyên đề bất đẳng thức Toán 9, giúp học sinh mở rộng tư duy và tiếp cận các bài toán nâng cao một cách hiệu quả. Luyện tập thường xuyên với các dạng bài Bernoulli sẽ tạo nền tảng vững chắc cho kỳ thi vào lớp 10 và các cấp học tiếp theo.
