Bất đẳng thức Chebyshev
Cách áp dụng bất đẳng thức Chebyshev hiệu quả
Trong các chuyên đề bất đẳng thức nâng cao của Toán 9, bất đẳng thức Chebyshev là một công cụ hữu ích giúp giải quyết nhiều bài toán so sánh và đánh giá tổng các số hạng. Hiểu rõ bản chất và cách vận dụng bất đẳng thức này sẽ giúp học sinh nâng cao kỹ năng chứng minh bất đẳng thức và chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10.
Công thức Chebyshev
Nếu 
\(\left\{ \begin{gathered}
{a_1} \leqslant {a_2} \leqslant ..... \leqslant {a_n} \hfill \\
{b_1} \leqslant {b_2} \leqslant ..... \leqslant {b_n} \hfill \\
\end{gathered} \right.\) thì \(\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n}.\frac{{{b_1} + {b_2} + .... + {b_n}}}{n} \leqslant \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + .... + a_n^{}{b_n}}}{n}\).
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left[ \begin{gathered}
{a_1} = {a_2} = .... = {a_n} \hfill \\
{b_1} = {b_2} = .... = {b_n} \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Nếu \(\left\{ \begin{gathered}
{a_1} \leqslant {a_2} \leqslant ..... \leqslant {a_n} \hfill \\
{b_1} \geqslant {b_2} \geqslant ..... \geqslant {b_n} \hfill \\
\end{gathered} \right.\) thì \(\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n}.\frac{{{b_1} + {b_2} + .... + {b_n}}}{n} \geqslant \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + .... + a_n^{}{b_n}}}{n}\)
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left[ \begin{gathered}
{a_1} = {a_2} = .... = {a_n} \hfill \\
{b_1} = {b_2} = .... = {b_n} \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Ví dụ minh họa bất đẳng thức Chebyshev
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = 1 và
\(\frac{{\sin A.\sin 2a + \sin B.\sin 2B + \sin C.\sin 2C}}{{\sin A + \sin B + \sin C}} = \frac{{2S}}{3}.\)
S là diện tích tan giác. chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
Hướng dẫn giải:
Không giảm tính tổng quát ta giả sử \(0 < A \leqslant B \leqslant C < \frac{\pi }{2}\) Suy ra: \(\left\{ \begin{gathered}
\sin A \leqslant \sin B \leqslant \sin C \hfill \\
\sin 2a \leqslant \sin 2B \leqslant \sin 2C \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Áp dụng BĐT Chebyshev ta được:
\(\begin{matrix}
\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right)\left( {\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C} \right) \geqslant \hfill \\
\geqslant 3\left( {\sin A.\sin 2A + \sin B.\sin 2B + \sin C.\sin 2C} \right) \hfill \\
\Leftrightarrow \frac{{\sin A.\sin 2A + \sin B.\sin 2B + \sin C.\sin 2C}}{{\sin A + \sin B + \sin C}} \leqslant \frac{1}{3}(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C) \hfill \\
\end{matrix}\)
Dấu ‘=’ xảy ra \(\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\sin A = \sin B = \sin C \hfill \\
\sin 2A = \sin 2B = \sin 2C \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \Delta ABC\,\,\) đều
Mặt khác:
\(\begin{matrix}
\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 2\sin (A + B).\cos (A - B) + \sin 2C \hfill \\
= 2\sin C\left[ {\cos (A - B) + \cos C} \right] = 2\sin C\left[ {\cos (A - B) - \cos (A + B)} \right] \hfill \\
= 2\sin C.2\sin A.\sin B = 4\sin A\sin B\sin C \hfill \\
= (2R\sin A)(2R\sin B).\sin C = a.b.\sin C = 2S\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \\
\end{matrix}\)
Thay (2) vào (1) ta có:
\(\frac{{\sin A.\sin 2a + \sin B.\sin 2B + \sin C.\sin 2C}}{{\sin A + \sin B + \sin C}} \leqslant \frac{{2S}}{3}.\)
Dấu ‘=’ xảy ra ABC đều.
Ví dụ 2: Cho a>b>c>0 và \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\). Chứng minh rằng \(\frac{{{a^3}}}{{b + c}} + \frac{{{b^3}}}{{a + c}} + \frac{{{c^3}}}{{a + b}} \geqslant \frac{1}{2}\)
Hướng dẫn giải:
Do a,b,c đối xứng ,giả sử a≥b≥c => \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a^2} \geqslant {b^2} \geqslant {c^2}} \\
{\frac{a}{{b + c}} \geqslant \frac{b}{{a + c}} \geqslant \frac{c}{{a + b}}}
\end{array}} \right.\)
Áp dụng BĐT Chebyshev ta có:
\({a^2}.\frac{a}{{b + c}} + {b^2}.\frac{b}{{a + c}} + {c^2}.\frac{c}{{a + b}} \geqslant \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}.\left( {\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}}} \right)\)
\(= \frac{1}{3}.\frac{3}{2} = \frac{1}{2}\)
Vậy \(\frac{{{a^3}}}{{b + c}} + \frac{{{b^3}}}{{a + c}} + \frac{{{c^3}}}{{a + b}} \geqslant \frac{1}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c= \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Ví dụ 3: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng: \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + a\left( {b + c} \right) + b\left( {c + d} \right) + d\left( {c + a} \right) \geqslant 10\)
Hướng dẫn giải:
Ta có \({a^2} + {b^2} \geqslant 2ab\)
\({c^2} + {d^2} \geqslant 2cd\)
Do abcd =1 nên cd = \(\frac{1}{{ab}}\)(dùng \(x + \frac{1}{x} \geqslant \frac{1}{2}\))
Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} \geqslant 2(ab + cd) = 2(ab + \frac{1}{{ab}}) \geqslant 4\) (1)
Mặt khác: \(a\left( {b + c} \right) + b\left( {c + d} \right) + d\left( {c + a} \right)\) = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
= \(\left( {ab + \frac{1}{{ab}}} \right) + \left( {ac + \frac{1}{{ac}}} \right) + \left( {bc + \frac{1}{{bc}}} \right) \geqslant 2 + 2 + 2\)
Vậy \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + a\left( {b + c} \right) + b\left( {c + d} \right) + d\left( {c + a} \right) \geqslant 10\).
--------------------------------
FAQ
Bất đẳng thức Chebyshev là gì?
Điều kiện áp dụng bất đẳng thức Chebyshev là gì?
Bất đẳng thức Chebyshev có khó đối với học sinh lớp 9 không?
Khi nào nên sử dụng bất đẳng thức Chebyshev?
-----------------------------
Bất đẳng thức Chebyshev là một trong những công cụ mạnh mẽ giúp giải quyết các bài toán bất đẳng thức nâng cao trong Toán 9. Việc thành thạo phương pháp này không chỉ hỗ trợ ôn thi vào lớp 10 mà còn tạo nền tảng vững chắc cho các chuyên đề đại số ở những cấp học cao hơn.
