Cách chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa
Chứng minh bất đẳng thức Toán 9 bằng định nghĩa
Trong quá trình học chuyên đề bất đẳng thức Toán 9, nhiều bài toán có thể được giải quyết hiệu quả bằng cách quay về định nghĩa cơ bản của bất đẳng thức. Đây là phương pháp nền tảng giúp học sinh hiểu sâu bản chất vấn đề, đồng thời rèn luyện tư duy logic cần thiết cho các kỳ thi vào lớp 10.
Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa
Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0
Lưu ý: Dùng hằng bất đẳng thức M2 ≥ 0 với mọi M
Các bước chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa gồm những gì?
Quy trình thường gồm:
- Xác định điều kiện của biến.
- Xét hiệu giữa hai vế của bất đẳng thức.
- Biến đổi biểu thức về dạng không âm hoặc không dương.
- Kết luận bất đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ minh họa chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa
Ví dụ 1: Với mọi x, y, z chứng minh rằng :
a) x2+ y2+ z2 ≥ xy+ yz + zx
b) x2+ y2+ z2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz
c) x2 + y2 + z2+3 ≥ 2 (x + y + z)
Hướng dẫn giải:
a) Ta xét hiệu:
x2+ y2+ z2- xy – yz – zx = 
\(\frac{1}{2}\).2 .( x2 + y2 + z2- xy – yz – zx) =\(\frac{1}{2}\) đúng với mọi x;y;z
Vì (x-y)2 ≥ 0 với"x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)2 ≥0 với"x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)2 ≥0 với" z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậyx2 + y2 + x2≥ xy+ yz + zx.
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
b) Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2- 2xy +2xz –2yz
= ( x – y + z)2≥0 đúng với mọi x;y;z \(\in \mathbb{R}\)
Vậy x2 + y2 + z2≥ 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu:
x2+ y2+z2+3 – 2( x+ y +z ) = x2- 2x + 1 + y2 -2y +1 + z2-2z +1
= (x-1)2+ (y-1)2+(z-1)2≥ 0. Dấu(=) xảy ra khi x=y=z=1.
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a) \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \geqslant {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\);
b) \(\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3} \geqslant {\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^2}\);
c) Hãy tổng quát bài toán.
Hướng dẫn giải:
a) Ta xét hiệu \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\)
\(=\frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{4} - \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}{4}\)
\(=\frac{1}{4}\left( {2{a^2} + 2{b^2} - {a^2} - {b^2} - 2ab} \right)\)\(=\frac{1}{4}{\left( {a - b} \right)^2} \geqslant 0\)
Vậy \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \geqslant {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\).
Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu
\(\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3} - {\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^2}\)\(=\frac{1}{9}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] \geqslant 0\).
Vậy \(\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3} \geqslant {\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^2}\)
Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c) Tổng quát \(\frac{{a_1^2 + a_2^2 + .... + a_n^2}}{n} \geqslant {\left( {\frac{{{a_1} + {a_2} + .... + {a_n}}}{n}} \right)^2}\)
Tóm lại các bước để chứng minh A≥B theo định nghĩa
- Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B
- Bước 2: Biến đổi H=(C+D) hoặc H=(C+D)2+….+(E+F)2
- Bước 3:Kết luận A ≥ B
Ví dụ 3: Chứng minh "m,n,p,q ta đều có: m2+ n2+ p2+ q2+1≥ m(n+p+q+1)
Hướng dẫn giải:
Ta có:
m2+ n2+ p2+ q2+1≥ m(n+p+q+1)
\(\Leftrightarrow \left( {\frac{{{m^2}}}{4} - mn + {n^2}} \right) + \left( {\frac{{{m^2}}}{4} - mp + {p^2}} \right) + \left( {\frac{{{m^2}}}{4} - mq + {q^2}} \right) + \left( {\frac{{{m^2}}}{4} - m + 1} \right) \geqslant 0\)
\(\Leftrightarrow {\left( {\frac{m}{2} - n} \right)^2} + {\left( {\frac{m}{2} - p} \right)^2} + {\left( {\frac{m}{2} - q} \right)^2} + {\left( {\frac{m}{2} - 1} \right)^2} \geqslant 0\)(luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{m}{2} - n = 0} \\
{\frac{m}{2} - p = 0} \\
{\frac{m}{2} - q = 0} \\
{\frac{m}{2} - 1 = 0}
\end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{n = \frac{m}{2}} \\
{p = \frac{m}{2}} \\
{q = \frac{m}{2}} \\
{m = 2}
\end{array}} \right.\)\(\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m = 2} \\
{n = p = q = 1}
\end{array}} \right.\)
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có: \({a^4} + {b^4} + {c^4} \geqslant abc(a + b + c)\)
Hướng dẫn giải:
Ta có: \({a^4} + {b^4} + {c^4} \geqslant abc(a + b + c)\), \(\forall a,b,c > 0\)
\(\begin{matrix}
\Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} - {a^2}bc - {b^2}ac - {c^2}ab \geqslant 0 \hfill \\
\Leftrightarrow 2{a^4} + 2{b^4} + 2{c^4} - 2{a^2}bc - 2{b^2}ac - 2{c^2}ab \geqslant 0 \hfill \\
\Leftrightarrow {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + 2{a^2}{b^2} + {\left( {{b^2} - {c^2}} \right)^2} + 2{b^2}{c^2} + {\left( {{c^2} - {a^2}} \right)^2} + 2{a^2}{c^2} \hfill \\
\, - 2{a^2}bc - 2{b^2}ac - 2{c^2}ab \geqslant 0 \hfill \\
\end{matrix}\)
\(\begin{matrix}
\Leftrightarrow {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + {\left( {{b^2} - {c^2}} \right)^2} + {\left( {{c^2} - {a^2}} \right)^2} + ({a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} - 2{b^2}ac) \hfill \\
+ ({b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} - 2{c^2}ab) + ({a^2}{b^2} + {c^2}{a^2} - 2{a^2}ab) \geqslant 0 \hfill \\
\Leftrightarrow {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + {\left( {{b^2} - {c^2}} \right)^2} + {\left( {{c^2} - {a^2}} \right)^2} + {\left( {ab - bc} \right)^2} \hfill \\
+ {\left( {bc - ac} \right)^2} + {\left( {ab - ac} \right)^2} \geqslant 0 \hfill \\
\end{matrix}\)
Đúng với mọi a, b, c.
-------------------------------
FAQ
Chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa là gì?
Đây là phương pháp sử dụng trực tiếp định nghĩa của các quan hệ lớn hơn, nhỏ hơn, lớn hơn hoặc bằng, nhỏ hơn hoặc bằng để chứng minh một bất đẳng thức đúng. Học sinh thường biến đổi hiệu hai vế hoặc xét tính không âm của một biểu thức.
Khi nào nên sử dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa?
Phương pháp này phù hợp khi:
- Biểu thức có dạng đơn giản.
- Có thể đưa về bình phương của một biểu thức.
- Xuất hiện hiệu giữa hai vế dễ phân tích.
- Cần chứng minh một bất đẳng thức cơ bản trước khi áp dụng phương pháp khác.
-----------------------------
Chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa là phương pháp cơ bản nhưng rất quan trọng trong chương trình Toán 9. Khi hiểu rõ bản chất và luyện tập thường xuyên, học sinh sẽ dễ dàng xử lý các bài toán bất đẳng thức và tự tin hơn trong kỳ thi vào lớp 10.
