Cách chứng minh một số là số vô tỉ
Phương pháp chứng minh căn bậc hai là số vô tỉ
Chứng minh một số là số vô tỉ là dạng toán quan trọng trong chương trình Toán 9. Bài viết giúp bạn nắm rõ các phương pháp thường dùng và luyện tập hiệu quả qua các ví dụ điển hình.
A. Số vô tỉ là gì?
- Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
- Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là I
Ví dụ: 3.145248… là số vô tỉ.
B. Chứng minh căn bậc ba của 3 là số vô tỉ
Chứng minh ![\sqrt[3]{3}](/data/image/holder.png){kind=small}
là số vô tỉ.
Hướng dẫn giải
Giả sử là số hữu tỉ ( là phân số tối giản). Suy ra : 3 = .
Hãy chứng minh cả p và q cùng chia hết cho 3, trái với giả thiết là phân số tối giản.
C. Chứng minh căn bậc hai của 7 là số vô tỉ
Chứng minh là số vô tỉ.
Hướng dẫn giải
Giả sử là số hữu tỉ ⇒ (tối giản). Suy ra (1).
Đẳng thức này chứng tỏ mà 7 là số nguyên tố nên m 7.
Đặt m = 7k (k ∈ Z), ta có m2 = 49k2 (2). Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3).
Từ (3) ta lại có n2 7 và vì 7 là số nguyên tố nên n 7. m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số không tối giản, trái giả thiết.
Vậy không phải là số hữu tỉ; do đó là số vô tỉ.
D. Chứng minh một số là số vô tỉ
Chứng minh các số sau là số vô tỉ:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Giả sử là số hữu tỉ (phân số tối giản). Suy ra 5 = . Hãy chứng minh rằng cả m lẫn n đều chia hết cho 5, trái giả thiết là phân số tối giản.
b) Giả sử là số hữu tỉ (phân số tối giản). Suy ra :
Thay m = 2k (k ∈ Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 ⇒ 4k3 = 3n3 + 6kn2.
Suy ra 3n3 chia hết cho 2 ⇒ n3 chia hết cho 2 ⇒ n chia hết cho 2. Như vậy m và n cùng chia hết cho 2, trái với giả thiết là phân số tối giản.
----------------------------------------------
Hiểu vững cách chứng minh số vô tỉ sẽ giúp bạn giải nhanh các bài toán số học và tự tin hơn trong kỳ thi vào lớp 10.
