Chứng minh bất đẳng thức bằng tính chất bắc cầu
Cách chứng minh bất đẳng thức bằng tính chất bắc cầu lớp 9
Bất đẳng thức là chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán 9 và thường xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10. Trong đó, phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng tính chất bắc cầu là một kỹ thuật cơ bản nhưng rất hiệu quả giúp học sinh giải nhanh nhiều dạng bài từ cơ bản đến nâng cao.
Tính chất bắc cầu
A > B và B > C thì A > C
Bài tập chứng minh bất đẳng thức sử dụng tính chất bắc cầu
Ví dụ 1: Cho a, b, c ,d > 0 thỏa mãn a > c + d , b > c + d
Chứng minh rằng: ab > ad+bc
Hướng dẫn giải
Ta có: 
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a > c + d} \\
{b > c + d}
\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a - c > d > 0} \\
{b - d > c > 0}
\end{array}} \right.\)
\(=> (a-c)(b-d) > cd\)
\(\Leftrightarrow ab - ad - bc + cd{\text{ }} > cd \Leftrightarrow ab > {\text{ }}ad + bc\) (điều phải chứng minh)
Ví dụ 2: Cho a,b,c > 0 thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = \frac{5}{3}\). Chứng minh: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{1}{{abc}}\)
Hướng dẫn giải:
Ta có: ( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) > 0
ac+bc-ab <1/2 (a2+b2+c2)
\(\Rightarrow ac + bc - ab \leqslant \frac{5}{6} < 1\)( Chia hai vế cho abc > 0) ta có \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{c} < \frac{1}{{abc}}\)
Ví dụ 3: Cho 0 < a,b,c,d <1. Chứng minh rằng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
Hướng dẫn giải:
Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
Do a>0 , b>0 nên ab>0 => (1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
Do c <1 nên 1- c > 0 ta có => (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
=> (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd
=> (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh)
Ví dụ 4: Cho 0 <a,b,c <1. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải:
Do a < 1 => và
Ta có \(\left( {1 - {a^2}} \right).\left( {1 - b} \right) < 0 \Rightarrow\) \(1 - b - {a^2} + {a^2}b > 0 \Rightarrow 1 + {a^2}{b^2} > {a^2} + b\)
mà 0< a,b <1 => a2> a3, b2>b3
Từ (1) và (2) => 1 + a2b2 >a3b3. Vậy \({a^3}{a^2} + {b^3} < 1 + {b^2}\)
Tương tự: \({b^3} + {c^3} \leqslant 1 + {b^2}c\); \({c^3} + {a^3} \leqslant 1 + {c^2}a\)
Cộng các bất đẳng thức ta có: \(2{a^3} + 2{b^3} + 2{c^3} \leqslant 3 + {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a\)
📘 Nội dung tài liệu còn tiếp tục, mời bạn tải bản đầy đủ để tham khảo chi tiết hơn.
------------------------------------
FAQ
1. Chứng minh bất đẳng thức bằng tính chất bắc cầu là gì?
2. Khi nào nên sử dụng tính chất bắc cầu trong chứng minh bất đẳng thức?
Phương pháp này phù hợp khi:
- Hai vế của bất đẳng thức khó so sánh trực tiếp.
- Có thể xuất hiện biểu thức trung gian đơn giản hơn.
- Kết hợp được với các bất đẳng thức quen thuộc như:
- Bình phương không âm.
- Bất đẳng thức Cauchy đơn giản.
- Trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân (AM-GM).
3. Tính chất bắc cầu có thường xuất hiện trong đề thi vào lớp 10 không?
-----------------------------------
Nắm vững phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng tính chất bắc cầu sẽ giúp học sinh xử lý hiệu quả nhiều bài toán bất đẳng thức trong chương trình Toán 9. Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập có đáp án sẽ góp phần nâng cao tư duy và đạt kết quả tốt trong kỳ thi vào lớp 10.
