Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Dùng tính chất của tỉ số chứng minh bất đẳng thức

Bất đẳng thức Toán 9

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập chứng minh bất đẳng thức bằng tỉ số có đáp án

Trong chuyên đề bất đẳng thức Toán 9, bên cạnh các phương pháp quen thuộc như biến đổi tương đương hay sử dụng hằng đẳng thức, tính chất của tỉ số cũng là một công cụ hiệu quả để chứng minh nhiều bài toán từ cơ bản đến nâng cao. Nắm vững phương pháp này giúp học sinh xử lý nhanh các dạng toán thường gặp trong quá trình ôn thi vào lớp 10.

Tính chất của tỉ số cần nhớ

1) Cho $a, b, c$ là các số dương thì

Nếu $\frac{a}{b} > 1$ $\frac{a}{b} > 1$ thì $\frac{a}{b} > \frac{{a + c}}{{b + c}}$ $\frac{a}{b} > \frac{{a + c}}{{b + c}}$
Nếu $\frac{a}{b} < 1$ $\frac{a}{b} < 1$ thì $\frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + c}}$ $\frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + c}}$

2) Nếu $b, d > 0$ thì từ $\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + d}} < \frac{c}{d}$ $\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + d}} < \frac{c}{d}$

Ví dụ minh họa chứng minh bất đẳng thức nhờ tính chất tỉ số

Ví dụ 1: Cho $a,b,c,d > 0$.Chứng minh rằng:

$1 < \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{c + d + a}} + \frac{d}{{d + a + b}} < 2$ $1 < \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{c + d + a}} + \frac{d}{{d + a + b}} < 2$

Hướng dẫn giải:

Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có

$\frac{a}{{a + b + c}} < 1 \Rightarrow \frac{a}{{a + b + c}} < \frac{{a + d}}{{a + b + c + d}}$ $\frac{a}{{a + b + c}} < 1 \Rightarrow \frac{a}{{a + b + c}} < \frac{{a + d}}{{a + b + c + d}}$(1)

Mặt khác: $\frac{a}{{a + b + c}} > \frac{a}{{a + b + c + d}}$ $\frac{a}{{a + b + c}} > \frac{a}{{a + b + c + d}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$\frac{a}{{a + b + c + d}} < \frac{a}{{a + b + c}} < \frac{{a + d}}{{a + b + c + d}}$ $\frac{a}{{a + b + c + d}} < \frac{a}{{a + b + c}} < \frac{{a + d}}{{a + b + c + d}}$ (3)

Tương tự ta có

$\frac{b}{{a + b + c + d}} < \frac{b}{{b + c + d}} < \frac{{b + a}}{{a + b + c + d}}$ $\frac{b}{{a + b + c + d}} < \frac{b}{{b + c + d}} < \frac{{b + a}}{{a + b + c + d}}$(4)

$\frac{c}{{a + b + c + d}} < \frac{c}{{c + d + a}} < \frac{{b + c}}{{a + b + c + d}a}$ $\frac{c}{{a + b + c + d}} < \frac{c}{{c + d + a}} < \frac{{b + c}}{{a + b + c + d}a}$ (5)

$\frac{d}{{a + b + c + d}} < \frac{d}{{d + a + b}} < \frac{{d + c}}{{a + b + c + d}}$ $\frac{d}{{a + b + c + d}} < \frac{d}{{d + a + b}} < \frac{{d + c}}{{a + b + c + d}}$ (6)

Cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có

Ví dụ 2: Cho $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ và b,d > 0. Chứng minh rằng: $\frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} < \frac{c}{d}$ $\frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} < \frac{c}{d}$

Hướng dẫn giải:

Từ $\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{{ab}}{{{b^2}}} < \frac{{cd}}{{{d^2}}}$ $\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{{ab}}{{{b^2}}} < \frac{{cd}}{{{d^2}}}$ => $\frac{a}{b} < \frac{{ab}}{{{b^2}}} < \frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} < \frac{{cd}}{{{d^2}}} = \frac{c}{d}$ $\frac{a}{b} < \frac{{ab}}{{{b^2}}} < \frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} < \frac{{cd}}{{{d^2}}} = \frac{c}{d}$

Vậy $\frac{a}{b} < \frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} < \frac{c}{d}$ $\frac{a}{b} < \frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} < \frac{c}{d}$<=> Điều phải chứng minh

Ví dụ 3: Cho $a; b; c; d$ là các số nguyên dương thỏa mãn: $a+b = c+d =1000$.

Tìm giá trị lớn nhất của $\frac{a}{c} + \frac{b}{d}$ $\frac{a}{c} + \frac{b}{d}$.

Hướng dẫn giải:

Không mất tính tổng quát ta giả sử: $\frac{a}{c} \leqslant \frac{b}{d}$ $\frac{a}{c} \leqslant \frac{b}{d}$

Từ: $\frac{a}{c} \leqslant \frac{b}{d} \Rightarrow \frac{a}{c} \leqslant \frac{{a + b}}{{c + d}} \leqslant \frac{b}{d}$ $\frac{a}{c} \leqslant \frac{b}{d} \Rightarrow \frac{a}{c} \leqslant \frac{{a + b}}{{c + d}} \leqslant \frac{b}{d}$

$\frac{a}{c} \leqslant 1$ $\frac{a}{c} \leqslant 1$ vì $a+b = c+d$

a.Nếu $b \leqslant 998$ $b \leqslant 998$ thì $\frac{b}{d} \leqslant 998$ $\frac{b}{d} \leqslant 998$ $\Rightarrow \frac{a}{c} + \frac{b}{d} \leqslant 999$ $\Rightarrow \frac{a}{c} + \frac{b}{d} \leqslant 999$

b. Nếu: b=998 thì a=1 $\Rightarrow \frac{a}{c} + \frac{b}{d} = \frac{1}{c} + \frac{{999}}{d}$ $\Rightarrow \frac{a}{c} + \frac{b}{d} = \frac{1}{c} + \frac{{999}}{d}$. Đạt giá trị lớn nhất khi $d= 1; c=999$

Vậy giá trị lớn nhất của $\frac{a}{c} + \frac{b}{d} = 999 + \frac{1}{{999}}$ $\frac{a}{c} + \frac{b}{d} = 999 + \frac{1}{{999}}$ khi $a=d=1; c=b=999$.

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.

----------------------------------------

FAQ

Khi nào nên áp dụng tính chất của tỉ số trong chứng minh bất đẳng thức?

Phương pháp này thường phù hợp khi:

Bài toán chứa nhiều phân thức.
Xuất hiện các thương số giữa các đại lượng.
Có điều kiện dương của các biến.
Biểu thức khó xử lý bằng phép biến đổi trực tiếp.

Dấu hiệu nhận biết bài toán sử dụng tính chất của tỉ số là gì?

Một số dấu hiệu thường gặp:

Các biểu thức được viết dưới dạng phân số.
Có sự xuất hiện của các tỉ lệ hoặc thương số.
Đề bài cho các điều kiện liên quan đến thứ tự của các biến.
Có thể quy về việc so sánh hai phân thức.

---------------------------------------

Dùng tính chất của tỉ số chứng minh bất đẳng thức là một phương pháp hữu ích trong chương trình Toán 9. Khi hiểu rõ các quy tắc so sánh phân thức và luyện tập thường xuyên, học sinh sẽ nâng cao kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi vào lớp 10.

Tải về

Chọn file muốn tải về: