Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Giải phương trình bằng công thức nghiệm

Bài tập Toán 9 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm lớp 9

Giải phương trình bằng công thức nghiệm là nội dung trọng tâm trong Toán 9, thường xuất hiện trong đề thi vào lớp 10. Bài viết giúp bạn nắm vững cách áp dụng nhanh và chính xác qua hệ thống bài tập có đáp án.

1. Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm

Để giải phương trình bậc hai: $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$

* Biệt thức Delta: $\Delta = b^{2} - 4ac$

- Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a};x_{2} = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

- Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2a}$

- Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

* Lưu ý: nếu (a, c trái dấu) thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

2. Giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn

Phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ và b =
2b'

Tính biệt thức: $\Delta' = b'^{2} - ac$

Nếu $\Delta' > 0$ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_{1} = \frac{- b' + \sqrt{\Delta'}}{a};x_{2} = \frac{- b' - \sqrt{\Delta'}}{a}$

Nếu $\Delta' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = - \frac{b'}{a}$ .

Nếu $\Delta' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

3. Ví dụ minh họa giải phương trình bậc 2 bằng công thức nghiệm

Ví dụ minh hoạ 1: Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, rồi tính biệt thức delta $(\Delta)$ và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:

a. $3x^{2} + 5x + 2 = 0$ b. $x^{2} - 5x + 9 = 0$

Hướng dẫn giải:

a. Phương trình $3x^{2} + 5x + 2 = 0$ , có hệ số và .

$\Delta = b^{2} - 4ac = 5^{2} - 4.3.2 = 25 - 24 = 1 > 0$

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b. Phương trình $x^{2} - 5x + 9 = 0$ , có hệ số và .

$\Delta = b^{2} - 4ac = ( - 5)^{2} - 4.1.9 = 25 - 36 = - 11 < 0$

Vậy, phương trình vô nghiệm.

Ví dụ minh hoạ 2: Giải các phương trình sau bằng công thức nghiệm.

a. $3x^{2} - 5x + 8 = 0$ b. $5x^{2} - 3x - 2 = 0$

Hướng dẫn giải:

a. Phương trình $3x^{2} - 5x + 8 = 0$ , có hệ số và .

$\Delta = b^{2} - 4ac = ( - 5)^{2} - 4.3.8 = 25 - 96 = - 71 < 0$

Vậy, phương trình vô nghiệm.

b. Phương trình $5x^{2} - 3x - 2 = 0$ , có hệ số và .

$\Delta = b^{2} - 4ac = ( - 3)^{2} - 4.5.( - 2) = 9 + 40 = 49 > 0$

$\Rightarrow \sqrt{\Delta} = 7$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{- ( - 3) - 7}{2.5} = - \frac{2}{5}$

$x_{2} = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{- ( - 3) + 7}{2.5} = 1$

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = - \frac{2}{5};x_{2} = 1$ .

Ví dụ minh hoạ 3: Với giá trị nào của m thì:

a. Phương trình $3x^{2} + (m + 1)x + 5 = 0$ có nghiệm .

b. Phương trình $mx^{2} - 4x - 3 = 0$ có nghiệm kép? Tìm nghiệm đó.

Hướng dẫn giải:

a. Phương trình $3x^{2} + (m + 1)x + 5 = 0$ có nghiệm

Thay vào phương trình đã cho:

$3.1^{2} + (m + 1).1 + 5 = 0 \Leftrightarrow 3 + m + 1 + 5 = 0$

$\Leftrightarrow m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = - 9$

Vậy, với thì phương trình có nghiệm

b. Phương trình $mx^{2} - 4x - 3 = 0$ .

Với hệ số $a = m;\Delta = ( - 4)^{2} - 4m.( - 3) = 16 + 12m$ .

Để phương trình có nghiệm kép $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta = 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 16 + 12m = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m = - \frac{4}{3} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - \frac{4}{3}$

Với $m = - \frac{4}{3}$ thì phương trình có nghiệm kép, và $x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2a} = - \frac{( - 4)}{2m} = - \frac{( - 4)}{2.\left( - \frac{4}{3} \right)} = - \frac{3}{2}$ .

Ví dụ minh hoạ 4: Chứng minh phương trình $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ luôn có hai nghiệm phân biệt nếu a, c trái dấu.

Áp dụng: Không giải phương trình, hãy cho biết mỗi phương trình sau có mấy nghiệm:

a. $\left( 1 + \sqrt{2} \right)x^{2} - 2x - \sqrt{3} = 0$

b. $5x^{2} - 3mx - 1 - m^{2} = 0$ .

Hướng dẫn giải:

a. Phương trình $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ có $\Delta = b^{2} - 4ac$ .

Khi a, c trái dấu thì , suy ra , do đó .

Mặt khác: $b^{2} \geq 0$ với mọi b.

Vì vậy, $\Delta = b^{2} - 4ac > 0$ .

Vậy, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt nếu a, c trái dấu. Điều này cũng đúng khi chứng minh với $(\Delta')$ .

Áp dụng:

a. Phương trình $\left( 1 + \sqrt{2} \right)x^{2} - 2x - \sqrt{3} = 0$ có hệ số $a = 1 + \sqrt{2} > 0$ , hệ số $c = - \sqrt{3} < 0$ .

Do đó, a và c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b. Phương trình $5x^{2} - 3mx - 1 - m^{2} = 0$ có hệ số , hệ số $c = - 1 - m^{2} < 0$ với mọi m.

Do đó, a và c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ minh họa 5: Giải các phương trình sau bằng công thức nghiệm thu gọn.

a. $3x^{2} - 5x + 8 = 0$ b. $5x^{2} - 3x - 2 = 0$

Hướng dẫn giải

a. Phương trình $3x^{2} - 5x + 8 = 0$ , có hệ số $a = 3;b = - 5 \Rightarrow b' = - \frac{5}{2}$ và .

$\Delta' = b'^{2} - ac = \left( - \frac{5}{2} \right)^{2} - 3.8 = \frac{25}{4} - 24 = - \frac{71}{4} < 0$

Vậy, phương trình vô nghiệm.

b. Phương trình $5x^{2} - 3x - 2 = 0$ , có hệ số $a = 5;b = - 3 \Rightarrow b' = - \frac{3}{2}$ và .

$\Delta' = b'^{2} - ac = \left( - \frac{3}{2} \right)^{2} - 5.( - 2) = \frac{9}{4} + 10 = \frac{49}{4} > 0$

$\Rightarrow \sqrt{\Delta'} = \frac{7}{2}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b' - \sqrt{\Delta'}}{a} = \frac{- \left( \frac{- 3}{2} \right) - \frac{7}{2}}{5} = - \frac{2}{5}$

$x_{2} = \frac{- b' + \sqrt{\Delta'}}{a} = \frac{- \left( \frac{- 3}{2} \right) + \frac{7}{2}}{5} = 1$

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = - \frac{2}{5};x_{2} = 1$ .

4. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Bài 1: Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c của phương trình. Tính biệt thức delta a và cho biết số nghiệm của phương trình:

a. $x^{2} - 5x + 1 = 0$ b. $2x^{2} - 9x + 10 = 0$

c. $2x^{2} + 7x + 3 = 0$ d. $- x^{2} + 6x - 9 = 0$

Bài 2: Giải các phương trình sau bằng công thức nghiệm:

a. $x^{2} - 8x + 17 = 0$ b. $\frac{1}{2}x^{2} - 5x - 3 = 0$

c. $- x^{2} + \sqrt{5}x - 1 = 0$ d. $5x^{2} + \sqrt{3}x - 2 = 0$

Bài 3: Giải các phương trình sau bằng công thức nghiệm:

a. $3x^{2} + \sqrt{2}x - 3 + \sqrt{2} = 0$ b. $5x^{2} - 5\sqrt{2}x + \frac{5}{2} = 0$

c. $x^{2} - \left( 1 - \sqrt{3} \right)x - \sqrt{3} = 0$ d. $x^{2} - \left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right)x - \sqrt{6} = 0$

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

-----------------------------------

Thành thạo công thức nghiệm sẽ giúp bạn giải nhanh phương trình bậc hai và tối ưu điểm số trong kỳ thi vào lớp 10.

Tải về

Chọn file muốn tải về: