Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung Toán 9 Có đáp án chi tiết

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung là một trong những kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán lớp 9, thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, đề thi học kỳ và đề thi vào lớp 10. Tuy nhiên, nhiều học sinh vẫn gặp khó khăn trong việc hiểu bản chất và vận dụng công thức một cách chính xác.

Trong chuyên đề đường tròn Toán 9, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung là một dạng toán quan trọng, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi vào lớp 10. Dạng toán này không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững định lý mà còn cần khả năng vận dụng linh hoạt vào các bài toán chứng minh và tính toán góc. Nếu hiểu rõ bản chất và phương pháp giải, bạn hoàn toàn có thể xử lý nhanh gọn các bài tập liên quan. Bài viết dưới đây sẽ hệ thống kiến thức, công thức và bài tập có đáp án chi tiết giúp bạn học chắc – làm nhanh – đạt điểm cao.

A. Các kiến thức cần nhớ về Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

a. Định nghĩa

Cho đường tròn (O); Ax là tia tiếp tuyến, AB là dây. Góc là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Ax và dây AB chắn cung .

b. Tính chất

Chú ý: Với A thuộc đường tròn, vẽ tia Ax và dây AB của đường tròn. Nếu thì Ax là tia tiếp tuyến của đường tròn (Có thể xem đây là 1 phương pháp chứng minh tiếp tuyến)

B. Bài tập Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Hướng dẫn giải

Vì MA² = MB.MC => MA/MB = MC/MA

Xét ΔMAC và ΔMBA có: ∠M chung

MA/MB = MC/MA

=> ΔMAC ∼ ΔMBA (c.g.c) => ∠MAB = ∠MCA (1)

Kẻ đường kính AD của (O). Ta có ∠ACB = ∠ADB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Mà ∠MAB = ∠MCA (chứng minh trên)

Suy ra ∠MAB = ∠ADB (2)

Lại có ∠ABD = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> ∠BAD + ∠BDA = 90^o (3)

Từ (2) và (3) suy ra ∠BAD + ∠MAB = 90^o hay ∠MAO = 90^o => OA ⊥ MA

Do A ∈ (O) => MA là tiếp tuyến của (O).

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh ΔABE ∼ ΔBDE; ΔMEA ∼ ΔDEM.

Xét ΔABE và ΔBDE có:

∠E chung

∠BAE = ∠DBE (góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD)

=> ΔABE ∼ ΔBDE (g.g)

Vì AC // MB nên ∠ACM = ∠CMB (so le trong)

Mà ∠ACM = ∠MAE (góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD)

Suy ra: ∠CMB = ∠MAE

Xét ΔMEA và ΔDEM có:

∠E chung

∠MAE = ∠CMD (chứng minh trên)

=> ΔMEA ∼ ΔDEM (g.g)

b) Chứng minh E là trung điểm của MB

Theo chứng minh a) ta có: ΔABE ∼ ΔBDE => AE/BE = BE/DE => EB² = AE.DE

ΔMEA ∼ ΔDEM => ME/DE = EA/EM => ME² = DE.EA

Do đó EB² = EM² hay EB = EM.

Vậy E là trung điểm của MB.

C. Bài tập tự rèn luyện Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Bài 3: Cho điểm C thuộc nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ điểm D thuộc đoạn AO kẻ đường thẳng vuông góc với AO cắt AC và BC lần lượt lại E và F. Tiếp tuyến C với nửa đường tròn cắt EF tại M và cắt AB tại N.

a) Chứng minh M là trung điểm của EF.

b) Tìm vị trí của điểm C trên đường tròn (O) sao cho ΔACN cân tại C.

Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm thay đổi trên tiếp tuyến Bx của (O). Nối AM cắt (O) tại N. Gọi I là trung điểm của AN.

a) Chứng minh: ΔAIO ∼ ΔBMN; ΔOBM ∼ ΔINB

b) Tìm vị trí của điểm M trên tia Bx để diện tích ΔAIO có giá trị lớn nhất.

Bài 5: Cho đường tròn (O; R) và dây AB, gọi I là trung điểm của dây AB. Trên tia dối của tia BA lấy điểm M. Kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn, (C,D ≠ (O)).

a) Chứng minh rằng: Năm điểm O, I, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn.

b) Gọi N là giao điểm của tia OM với (O). Chứng minh rằng N là tâm đường tròn nội tiếp.

D. Đáp án bài tập góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Bài 3:

a) Chứng minh M là trung điểm của EF

Ta có ∠MCA = 1/2 sđ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung chắn cung AC) (1)

Lại có ∠MEC = ∠AED = 90^o - ∠EAD = 90^o - 1/2 sđ = 1/2 sđ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∠MCE = ∠MEC

Vậy ΔMEC cân tại M, suy ra MC = ME.

Chứng minh tương tự ta có MC = MF.

Suy ra ME = MF hay M là trung điểm của EF.

b) Tìm vị trí của điểm C trên đường tròn (O) sao cho ΔACN cân tại C.

ΔACN cân tại C khi và chỉ khi ∠CAN = ∠CNA

Vì MN là tiếp tuyến với (O) tại C nên OC ⊥ MN

=> ∠CNA = 90^o - ∠COB = 90^o - 2.∠CAN

Do đó:

∠CAN = ∠CNA ⇔ ∠CAN = 90^o - 2.∠CAN ⇔ 3∠CAN = 90^o

=> ∠CAN = 30^o => Sđ = 60^o

Vậy ΔACN cân tại C khi C nằm trên nửa đường tròn (O) sao cho SđBC = 60^o.

Bài 4:

Hình vẽ minh họa:

a) Chứng minh: ΔAIO ∼ ΔBMN; ΔOBM ∼ ΔINB

Vì I là trung điểm của AN => OI ⊥ AN => ∠AIO = ∠ANB = 90^o

Do Bx là tiếp tuyến với (O) tại B

=> ∠NBM = ∠IAO = 1/2 sđ

=> ΔAIO ∼ ΔBMN (g.g)

Vì ∠OIM = ∠OBM = 90o

=> các điểm B, O, I, M cùng thuộc đường tròn đường kính MO

suy ra ∠BOM = ∠BIN

Xét ΔOBM và ΔINB có:

∠OBM = ∠INB

∠BOM = ∠BIN

=> ΔOBM ∼ ΔINB (g.g)

b) Tìm vị trí của điểm M trên tia Bx để diện tích ΔAIO có giá trị lớn nhất

Kẻ IH ⊥ AO ta có: S_ΔAIO = 1/2 AO.IH

Vì AO không đổi nên SΔAIO lớn nhất ⇔ IH lớn nhất.

Nhận thấy: Khi M chuyển động trên tia Bx thì I chạy trên nửa đường tròn đường kính AO.

Do đó IH lớn nhất khi IH là bán kính của đường tròn

=> ΔAIO vuông cân tại I nên ∠IAH = 45^o.

=> ΔABM vuông cân tại B nên BM = BA = 2R

Vậy khi M thuộc Bx sao cho BM = 2R thì S_ΔAIO lớn nhất.

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ

------------------------------------

Có thể thấy, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung là một trong những nội dung cốt lõi của chuyên đề đường tròn lớp 9. Khi học dạng toán này, bạn cần ghi nhớ chính xác định lý và hiểu rõ mối liên hệ giữa góc nội tiếp và cung chắn. Việc luyện tập nhiều dạng bài từ cơ bản đến nâng cao sẽ giúp bạn nâng cao khả năng nhận diện và xử lý bài toán nhanh hơn.

Đồng thời, hãy chú ý vẽ hình chính xác vì đây là yếu tố quan trọng quyết định hướng giải. Bạn cũng nên kết hợp ôn tập với các dạng bài liên quan như góc nội tiếp, tứ giác nội tiếp để tăng hiệu quả học tập. Đừng quên kiểm tra lại lời giải để tránh sai sót không đáng có. Nếu kiên trì luyện tập đúng phương pháp, bạn hoàn toàn có thể chinh phục điểm cao trong các kỳ thi quan trọng.