Những lưu ý khi giải bài toán tìm GTLN, GTNN Toán 9
Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức
Trong quá trình ôn thi vào lớp 10, bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức luôn là dạng toán quan trọng, xuất hiện thường xuyên trong các đề thi và có tính phân loại cao. Không chỉ yêu cầu nắm vững kiến thức về biến đổi đại số, bất đẳng thức và điều kiện xác định, dạng toán này còn đòi hỏi học sinh biết lựa chọn phương pháp giải phù hợp cho từng bài. Bài viết "Những lưu ý khi giải bài toán tìm GTLN, GTNN Toán 9" sẽ tổng hợp các nguyên tắc quan trọng, lỗi thường gặp, mẹo nhận dạng phương pháp cùng hệ thống ví dụ minh họa có đáp án, giúp học sinh rèn luyện tư duy, giải bài nhanh và đạt điểm tối đa trong các kỳ thi vào lớp 10.
Lưu ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến
Ví dụ: Tìm GTNN của 
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2}\).
Hướng dẫn
Ta đặt \(x - 2 = y\) biểu thức trở thành \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} = 2{y^2} + 2 \ge 2\)
\(\Rightarrow \min A = 2 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow x = 2\).
Lưu ý 2: Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị.
Ví dụ:
- A lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất
\(\frac{1}{B}\) lớn nhất ⇔ B nhỏ nhất với B > 0
Ví dụ: Tìm GTLN của \(A = \frac{{{x^4} + 1}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}\). (Chú ý \(A > 0\) nên A lớn nhất khi nhỏ nhất và ngược lại)
Hướng dẫn
Ta có: \(\frac{1}{A} = \frac{{{{({x^2} + 1)}^2}}}{{{x^4} + 1}}\)\(= \frac{{{x^4} + 2{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}} = 1 + \frac{{2{x^2}}}{{{x^4} + 1}}\)
Vậy \(\frac{1}{A} \ge 1\) ⇒ \(\min \frac{1}{A} = 1\) khi x = 0.\(\frac{1}{A}\)
Do đó khi x = 0.
Lưu ý 3: Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức người ta thường sử dụng các BĐT đã biết
Bất đẳng thức có tính chất sau:
a) \(a > b;c > d\) với \(a;b;c;d > 0\) thì \(a.c > b.d\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}
a > b\\
c > 0
\end{array} \right.\) thì \(a.c > b.c\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}
a > b\\
c < 0
\end{array} \right.\) thì \(a.c < b.c\)
d) \(\left\{ \begin{array}{l}
a > b\\
a,b,n > 0
\end{array} \right.\) thì \({a^n} > {b^n}\)
Bất đẳng thức Cauchy
\(\begin{array}{l}
a + b \ge 2\sqrt {ab} \\
{a^2} + {b^2} \ge 2ab\\
{\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab\\
2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2}
\end{array}\)
Bất đẳng thức Bunhiacopsky
\(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\)
Ví dụ: Cho \({x^2} + {y^2} = 52\). Tìm GTLN của biểu thức \(A = 2x + 3y\).
Hướng dẫn
Áp dụng BĐT Bunhiacopsky ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {2x + 3y} \right)^2} \le \left( {{2^2} + {3^2}} \right).\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = \left( {{2^2} + {3^2}} \right).52\\
\Rightarrow {\left( {2x + 3y} \right)^2} \le 13.13.4 \Rightarrow 2x + 3y \le 26
\end{array}\)
Vậy \(\max A = 26 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x = 3y\\
2x + 3y \ge 0
\end{array} \right.\)
Thay \(y = \frac{{3x}}{2}\) vào \({x^2} + {y^2} = 52\) ta được:
\(4{x^2} + 9{y^2} = 52.4 \Rightarrow {x^2} = 16 \Rightarrow x = 4\) hoặc \(x = -4\)
Với x = 4 thì y = 6 thoả mãn 2x +3y ≥ 0
Với x = -4 thì y = -6 không thoả mãn 2x +3y ≥ 0
Vậy \(\max A = 26 \Leftrightarrow x = 4;y = 6\).
Lưu ý 4. Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau
- Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau.
- Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau.
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết \(x;y \in \mathbb{N}\) thoả mãn \(x + y = 2005\).
Hướng dẫn
Ta có:
\(4xy = {\left( {x + y} \right)^2} - {\left( {x - y} \right)^2} = 2005 - {\left( {x - y} \right)^2}\)
xy lớn nhất ⇔ x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất ⇔ x – y lớn nhất
Giả sử x > y ( không thể xảy ra x = y)
Do 1 ≤ y ≤ x ≤ 2004 nên 1 ≤ x-y ≤ 2003
Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002
max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1
Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002
Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1
------------------------------------------
Nắm vững những lưu ý khi giải bài toán tìm GTLN, GTNN Toán 9 sẽ giúp học sinh tránh được các sai sót phổ biến, lựa chọn đúng hướng giải và nâng cao khả năng xử lý các bài toán từ cơ bản đến nâng cao. Hãy luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài, kết hợp hệ thống hóa các phương pháp tìm cực trị để hình thành tư duy giải toán linh hoạt. Đừng quên theo dõi chuyên mục Bài toán tìm Min – Max của biểu thức để cập nhật thêm nhiều bài tập có đáp án, chuyên đề ôn thi vào lớp 10 và các phương pháp giải hiệu quả dành cho học sinh khá, giỏi.
