Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức dùng biến đổi tương đương chi tiết
Chuyên đề bất đẳng thức toán 9 ôn thi vào lớp 10
Trong các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ở Toán 9, biến đổi tương đương là kỹ thuật được sử dụng phổ biến nhờ tính logic, chặt chẽ và dễ áp dụng. Nắm vững phương pháp này giúp học sinh giải quyết hiệu quả nhiều dạng toán bất đẳng thức từ cơ bản đến nâng cao, đồng thời tăng khả năng đạt điểm cao trong kỳ thi vào lớp 10.
Cách chứng minh Bất đẳng thức dùng biến đổi tương đương
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.
Nếu A < B ⇔ C < D , với C < D là một bất đẳng thức hiển nhiên, hoặc đã biết là đúng thì có bất đẳng thức A < B.
Chú ý các hằng đẳng thức sau:
\({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
\({\left( {A + B + C} \right)^2} = {A^2} + {B^2} + {C^2} + 2AB + 2AC + 2BC\)
\({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)
Chứng minh bất đẳng thức bằng cách biến đổi tương đương
Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
a) \({a^2} + \frac{{{b^2}}}{4} \geqslant ab\)
b) \({a^2} + {b^2} + 1 \geqslant ab + a + ba\)
c) \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2} \geqslant a\left( {b + c + d + e} \right)\)
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\({a^2} + \frac{{{b^2}}}{4} \geqslant ab\) \(\Leftrightarrow 4{a^2} + {b^2} \geqslant 4ab\)
\(\Leftrightarrow 4{a^2} - 4a + {b^2} \geqslant 0\)
\(\Leftrightarrow {\left( {2a - b} \right)^2} \geqslant 0\) (BĐT này luôn đúng). Vậy \({a^2} + \frac{{{b^2}}}{4} \geqslant ab\) (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
b) Ta có:
\({a^2} + {b^2} + 1 \geqslant ab + a + ba\)\(\Leftrightarrow 2({a^2} + {b^2} + 1\left. {} \right) > 2(ab + a + b)\)
\(\Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} + {a^2} - 2a + 1 + {b^2} - 2b + 1 \geqslant 0\)
\(\Leftrightarrow {(a - b)^2} + {(a - 1)^2} + {(b - 1)^2} \geqslant 0\)
Bất đẳng thức cuối đúng.
Vậy \({a^2} + {b^2} + 1 \geqslant ab + a + b\). Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
c) \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2} \geqslant a\left( {b + c + d + e} \right)\)
⇔ \(4\left( {} \right.{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2}\left. {} \right) \geqslant 4a\left( {b + c + d + e} \right)\)
⇔ \(\left( {{a^2} - 4ab + 4{b^2}} \right) + \left( {{a^2} - 4ac + 4{c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 4ad + 4{d^2}} \right) + \left( {{a^2} - 4ac + 4{c^2}} \right) \geqslant 0\)
⇔ \({\left( {a - 2b} \right)^2} + {\left( {a - 2c} \right)^2} + {\left( {a - 2d} \right)^2} + {\left( {a - 2c} \right)^2} \geqslant 0\)
Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: \(\left( {{a^{10}} + {b^{10}}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \geqslant \left( {{a^8} + {b^8}} \right)\left( {{a^4} + {b^4}} \right)\)
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\(\left( {{a^{10}} + {b^{10}}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \geqslant \left( {{a^8} + {b^8}} \right)\left( {{a^4} + {b^4}} \right)\)
⇔ \({a^{12}} + {a^{10}}{b^2} + {a^2}{b^{10}} + {b^{12}} \geqslant {a^{12}} + {a^8}{b^4} + {a^4}{b^8} + {b^{12}}\)
⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0
⇔a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) ≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 3: Cho x.y =1 và x>y. Chứng minh \(\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} \geqslant 2\sqrt 2\)
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} \geqslant 2\sqrt 2\)
Vì: x > y nên x-y> 0 => \({x^2} + {y^2} \geqslant 2\sqrt 2 \left( {x - y} \right)\)
=> x2+y2-\(2\sqrt 2\) x+\(2\sqrt 2\)y ≥0⇔ x2+y2+2-\(2\sqrt 2\) x+\(2\sqrt 2\)y -2 ≥0
⇔ x2+y2+(\(\sqrt 2\))2- \(2\sqrt 2\)x+\(2\sqrt 2\)y -2xy ≥0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
=> (x-y-\(\sqrt 2\))2 ≥ 0 Điều này luôn luôn đúng.
Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
a. \(P\left( {x;y} \right) = 9{x^2}{y^2} + {y^2} - 6xy - 2y + 1 \geqslant 0\); \(\forall x,y \in \mathbb{R}\)
b. \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \leqslant \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|\) (gợi ý :bình phương 2 vế)
c. Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x.y.z = 1} \\
{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} < x + y + z}
\end{array}} \right.\)
Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
Hướng dẫn giải:
Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\)) = x+y+z - \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\) (vì \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\)< x+y+z theo gỉa thiết)
=>2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba số -1 , y-1, z-1 là dương.
Nếu trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1
Mâu thuẫn giả thiết x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.
---------------------------------
FAQ
Biến đổi tương đương trong chứng minh bất đẳng thức là gì?
Biến đổi tương đương là quá trình chuyển đổi bất đẳng thức ban đầu sang một bất đẳng thức khác có giá trị tương đương về mặt logic. Mục tiêu là đưa bài toán về dạng đơn giản hơn, dễ chứng minh hơn nhưng vẫn giữ nguyên tính đúng sai của bất đẳng thức.
Khi nào nên sử dụng phương pháp biến đổi tương đương?
Phương pháp này thường được áp dụng khi:
- Hai vế của bất đẳng thức có cấu trúc tương đối phức tạp.
- Có thể quy đồng, phân tích nhân tử hoặc sử dụng hằng đẳng thức.
- Xuất hiện căn thức, phân thức hoặc đa thức nhiều bậc.
- Cần đưa bài toán về dạng bình phương không âm.
------------------------------------
Phương pháp chứng minh bất đẳng thức dùng biến đổi tương đương là nền tảng quan trọng trong chương trình Toán 9 và ôn thi vào lớp 10. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp học sinh nâng cao khả năng tư duy, trình bày lời giải chặt chẽ và xử lý hiệu quả các bài toán bất đẳng thức.
