Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

So sánh P(x) với k (k là hằng số), hoặc P(x) > A(x)

Bài tập Toán 9 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập so sánh hai biểu thức có lời giải chi tiết lớp 9

So sánh biểu thức P(x) với hằng số k hoặc với A(x) là dạng toán quan trọng trong Toán 9, thường gặp trong đề thi vào lớp 10. Bài viết giúp bạn nắm vững phương pháp và luyện tập qua hệ thống bài tập có đáp án.

A. Phương pháp so sánh biểu thức

Bước 1: Xét hiệu P(x) – k, P(x) – A(x) => Thu gọn.

Bước 2: Xét dấu của hiệu P(x) –k, P(x) – A(x)

+) Nếu P(x) –k > 0 => P(x) > k

+) Nếu P(x) –k < 0 => P(x) < k

Bước 3: Kết luận.

B. Ví dụ minh họa so sánh biểu thức chứa căn

Ví dụ 1: Cho biểu thức P = $\frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 1}$ với x > 0. So sánh P với 1.

Hướng dẫn giải

Cách 1. Xét P – 1 = $\frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 1} - 1 = \frac{4}{\sqrt{x} + 1}$

Vì x > 0 nên $\sqrt{x} + 1 > 0\ \ \Rightarrow \frac{4}{\sqrt{x} + 1} > 0\ \ hay\ P - 1 > 0$ . Vậy P > 1.

Cách 2. P = $\frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 1} = 1 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1}$ , Vì x > 0 nên $\sqrt{x} + 1 > 0\ \ \Rightarrow \frac{4}{\sqrt{x} + 1} > 0\$

Nên $1 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1} > 1.\ \ \ \ Hay\ \ \ P > 1.$

Ví dụ 2. Cho biểu thức P = $\frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ với $x > 0,x \neq 1.$ So sánh P với 4.

Hướng dẫn giải

Cách 1. Xét P – 4 = $\frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} - 4 = \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x} - 1)^{2}}{\sqrt{x}}$

Vì x > 0 nên $\sqrt{x} > 0$ và $x \neq 1 = > (\sqrt{x} - 1)^{2} > 0$ . Do đó $\frac{(\sqrt{x} - 1)^{2}}{\sqrt{x}} > 0$ hay P – 4 > 0.

Do đó P >4.

Cách 2. Ta có P = $\frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ với $x > 0,x \neq 1.$

Vì x > 0, nên P = $\frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + 2$

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương $\sqrt{x},\ \ \frac{1}{\sqrt{x}}$ ta có

$\sqrt{x} + \ \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}} \Leftrightarrow \sqrt{x} + \ \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2 \Leftrightarrow \sqrt{x} + \ \frac{1}{\sqrt{x}} + 2 \geq 4$ . Hay P $\geq 4$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow x = 1$ ( không thỏa mãn vì $x \neq 1$ ).

Do đó P > 4.

Ví dụ 3: Cho P = $\frac{x - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ với $x > 0,x \neq 1.$ So sánh P và $\sqrt{P}$ .

Hướng dẫn giải

Cách 1.

+) Vì x > 0 nên $\sqrt{x} > 0$ và có $x - \sqrt{x} + 1 = \left( \sqrt{x} - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4} > 0$

Do đó P = $\frac{x - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ > 0 với mọi $x > 0,x \neq 1 \Rightarrow \sqrt{P}$ xác định với mọi $x > 0,x \neq 1$ .

+ Lại có P = $\frac{x - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} - 1$ do x > 0

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương $\sqrt{x},\ \ \frac{1}{\sqrt{x}}$ ta có

$\sqrt{x} + \ \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}} \Leftrightarrow \sqrt{x} + \ \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} + \ \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \geq 1$ . Hay P $\geq 1$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow x = 1$ ( không thỏa mãn vì $x \neq 1$ ). Nên P > 1

=> $\sqrt{P} > 1 \Rightarrow \sqrt{P} - 1 > 0$ => $\sqrt{P}(\sqrt{P} - 1) > 0 \Rightarrow P - \sqrt{P} > 0 \Rightarrow P > \sqrt{P}.$

Cách 2. + ta có: P > 0 $\Rightarrow \sqrt{P}$ > 0 => P + $\sqrt{P}$ > 0

+ xét P² – P = P( P – 1) = $\frac{x - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}.\left( \frac{x - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} - 1 \right) = \frac{x - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}.\frac{x + 1}{\sqrt{x}} > 0$

=> P² – P = (P + $\sqrt{P}$ )( P - $\sqrt{P}$ ) > 0, vì P + $\sqrt{P}$ > 0 => P - $\sqrt{P}$ > 0 => P > $\sqrt{P}$

Hoặc P² – P > 0 => P² > P => P > $\sqrt{P}$ ( vì P > 0).

* Chú ý. Dạng này có thể đổi thành so sánh P với P² ( với P dương)

-------------------------------------

Thành thạo kỹ năng so sánh biểu thức sẽ giúp bạn xử lý nhanh các bài toán bất đẳng thức và nâng cao điểm số trong kỳ thi vào lớp 10.

Tải về

Chọn file muốn tải về: