Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức

Bài tập Toán 9 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách sử dụng bất đẳng thức AM-GM trong chứng minh toán 9

Các bất đẳng thức AM-GM và Bunhiacopxki là công cụ quan trọng trong giải toán lớp 9. Bài viết này giúp bạn nắm vững phương pháp và luyện tập hiệu quả qua hệ thống bài tập chọn lọc.

1. Bất đẳng thức AM-GM

Với hai số không âm ta có: $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}.$

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi

Chứng minh:

Với hai số không âm , xét hiệu:

$\frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a + b - 2\sqrt{ab}}{2}$ $= \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2}}{2} \geq 0.$

Dấu ‘’ xảy ra khi và chỉ khi

Vậy $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}.$ Dấu ‘’ xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{a} = \sqrt{b}$ hay

Chú ý: Ta hay áp dụng dạng $a + b \geq 2\sqrt{ab}$ .

Dấu ‘’ xảy ra khi và chỉ khi

Với ba số không âm ta có: $\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}.$

Dấu ‘’ xảy ra khi và chỉ khi

Chứng minh:

Với ba số không âm ta có:

$a + b \geq 2\sqrt{ab}$ ;

$c + \sqrt[3]{abc} \geq 2\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}$

Cộng theo vế của hai bất đẳng thức trên ta được:

$a + b + c + \sqrt[3]{abc} \geq 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}$

$a + b + c + \sqrt[3]{abc} \geq 2\left( \sqrt{ab} + 2\sqrt{c\sqrt[3]{abc}} \right)$

Lại có: O10-2024-GV154 $\sqrt{ab} + \sqrt{c\sqrt[3]{abc}} \geq 2\sqrt{\sqrt{ab}.\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}} = 2\sqrt[3]{abc}$

nên $a + b + c + \sqrt[3]{abc} \geq 4\sqrt[3]{abc}$ hay $a + b + c + \geq 3\sqrt[3]{abc}$ . Do đó $\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}.$

Dấu ‘’ xảy ra khi và chỉ khi

Chú ý: Ta hay áp dụng dạng $a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}$ . Dấu ‘’ xảy ra khi và chỉ khi

2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Với bốn số thực bất kỳ ta có: $\ \ (ax + by)^{2} \leq \left( a^{2} + b^{2} \right)\left( x^{2} + y^{2} \right).$

Dấu “=” xảy ra khi hay $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ với $x \neq 0;y \neq 0.$

Chứng minh:

Bất đẳng thức $\ \ (ax + by)^{2} \leq \left( a^{2} + b^{2} \right)\left( x^{2} + y^{2} \right)$

Xét hiệu:

$(ax + by)^{2} - \left( a^{2} + b^{2} \right)\left( x^{2} + y^{2} \right)$

$= a^{2}x^{2} + 2axby + b^{2}y^{2} - (a^{2}x^{2} + a^{2}y^{2} + b^{2}x^{2} + b^{2}y^{2})$

$= a^{2}y^{2} - 2axby + b^{2}x^{2}$

$= (ay - bx)^{2} \geq 0$

Vậy $\ \ (ax + by)^{2} \leq \left( a^{2} + b^{2} \right)\left( x^{2} + y^{2} \right)$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ .

3. Bài tập ví dụ minh họa chứng minh bất đẳng thức bằng AM – GM, Bunhia

Ví dụ 1. [VD] Cho $a,\ \ b,\ \ c$ là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

$a)\ \ \ \ (a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4;$ $b)\ \ \ \ (a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq 9.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có

$(a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ .

Vì $a,\ \ b,\ \ c$ là các số dương nên ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số $\frac{a}{b};\frac{b}{a}$ dương ta được:

$(a + b)\left( \frac{1}{b} + \frac{1}{a} \right) = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 + 2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{a}{b}}$ .

Vậy $(a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

b) Ta có $(a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$ $= 1 + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + 1 + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + 1$ $= 3 + \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) + \left( \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \right) + \left( \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \right)$ .

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được

$(a + b + c)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq 3 + 2.\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}} + 2.\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{b}} + 2.\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{c}{a}}$ .

Hay $(a + b + c)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq 9$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} \frac{a}{b} = \frac{b}{a} \\ \frac{a}{b} = \frac{b}{a} \\ \frac{b}{c} = \frac{c}{b} \end{matrix} \right.$ hay

Vậy với $a,\ \ b,\ \ c$ dương thì $(a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq 9.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

Chú ý: Các bất đẳng thức trên còn viết dưới dạng với $a,\ \ b,\ \ c$ thì:

$.\ \ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b};$

$.\ \ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c}.$

Ví dụ 2. [VD] Cho là các số dương thỏa mãn $\ \ a > b;\ \ \ \ a.b = 1$ . Chứng minh $\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b} = 2\sqrt{2}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có

$\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b} = \frac{(a - b)^{2} + 2ab}{a - b} = \frac{(a - b)^{2} + 2}{a - b} = a - b + \frac{2}{a - b}$ .

VÌ nên áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

$\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b} \geq 2.\sqrt{(a - b)\frac{2}{a - b}} = 2\sqrt{2}$ .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a - b = \sqrt{2}$ .

Vậy $\ \ a > b > 0\$ và thì $\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b} \geq 2\sqrt{2}$ .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a - b = \sqrt{2}$ .

Ví dụ 3. [VD] Cho . Chứng minh $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \frac{4}{3}$ .

Hướng dẫn giải

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

$(x + y + z)^{2} \leq \left( 1^{2} + 1^{2} + 1^{2} \right)\left( x^{2} + y^{2} + z^{2} \right)$

$3\left( x^{2} + y^{2} + z^{2} \right) \geq (x + y + z)^{2}$

$x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \frac{4}{3}$ .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = y = z = \frac{2}{3}$ .

Vậy với thì $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \frac{4}{3}$ .

4. Bài tập tự rèn luyện chứng minh bất đẳng thức có đáp án

Bài tập 1. [VD] Cho $x,y \neq 0$ Chứng minh bất đẳng thưc sau: O10-2024-GV154 $\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \geq \frac{y}{x} + \frac{x}{y}\ \ \ \ \ \ (1)$ .

Bài tập 2. [VD] Cho là các số dương. Chứng minh rằng: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}.$

Bài tập 3. [VD] Cho là các số dương thỏa mãn $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4.$

Chứng minh: $\frac{1}{2x + y + z} + \frac{1}{2y + x + z} + \frac{1}{2z + x + y} \leq 1.$

Bài tập 4. [VD] Cho $a \geq 4$ . Chứng minh rằng: $a + \frac{1}{a} \geq \frac{17}{4}$ .

Bài tập 5. [VD] Tìm GTNN của các biểu thức:

a. $A = 4x^{2} + 4x + 11$ .

b. $B\ = \ (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)$ .

c. $C = x^{2} - 2x + y^{2} - 4y + 7$ .

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

-------------------------------------

Nắm chắc AM-GM và Bunhiacopxki sẽ giúp bạn xử lý nhanh các bài toán bất đẳng thức trong đề thi vào lớp 10.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: